Построение множества рац. чисел в школьном курсе математики

После построения множества Z представляется возможность поссмотрения множества Q. В более простых случаях надо вводить действия с отрицательными числами на первых уроках изучения дробей.

Методика изучения иррациональных чисел.

Особенность – трудность перехода от Q к R. Прежде чем вводить понятие иррац. числа надо, в порядке повторения, рассмотреть координатную прямую в той последовательности, в которой она изучалась: координатный луч, координаты точек которого сначала целые неотрицательные числа, потом неотрицательные дробные числа. Затем рассматривается координатная прямая, координаты точек которой сначала целые числа, затем рациональные.

Затем обращается внимание, что все эти точки можно представить в виде дроби(рационального числа)

Далее, непосредственным делением дроби устанавливается факт обращения дроби в конечную или бесконечную, но периодическую десятичную дробь, и то, что бесконечная периодическая десятичная дробь представляет определенное рациональное число.

Затем можно поставить вопрос, а каждой ли точке коорд. прямой соответствует число?

Также можно ввести задачу, ответ на которую будет иррац. число.

Здесь надо показать, что число мы можем представить в виде рационального числа приближенного со сколь угодной точностью: до 1; до 0,1 …Но у нас не получается периодическая дробь, так как эти числа рациональные.

Таким образом, иррац. число выражается бесконечной непериодической дробью.

Закрепление понятия иррац. числа может служить система вопросов типа: Может ли сумма(разность, произведение, частное) двух иррац. чисел быть рациональным числом?и т.д.

Объединяя множество рациональных и иррац. чисел приходим к множеству действительных.

Тождественные преобразования в школьном курсе математики. Методика изучения понятия тождество. Тождество на множестве. Основные виды тождественных преобразований в школьном курсе математики.

В курсе математики приходится выполнять различные преобразования. Например, сумму 13х + 12х мы можем заменить выражением 25х. Произведение дробей 6а²/5 · 1/a заменим дробью 6а/5. Получается, что выражения 13х + 12х и 25х тождественно равны на множестве всех чисел, а выражения 6а²/5 · 1/a и 6а/5 тождественно равны на множестве всех чисел, кроме 0. Замену выражения другим выражением, тождественно равным ему на некотором множестве, называют тождественным преобразованием выражения на этом множестве.

Истинные числовые равенства также называют тождествами. Например, равенство 3² + 4² = 5² – тождество.

Тождества и тождественные преобразования не являются отдельной темой и изучаются на протяжении всего курса математики

• На основе содержания линии тождественных преобразований формируется представление об аналитическом методе математики;

• Решение многих математических задач аналитическим методом предполагает выполнение тождественных преобразований алгебраических выражений;

• Умение проводить тождественные преобразования, знание основных тождеств – одно из условий успешности учащихся во многих других темах школьного курса математики.

Различные подходы в определении понятия:

• Равенство, верное при любых значениях переменных;

• Равенство, верное при любых допустимых значениях переменных;

• Равенство верное про любых значениях переменных, принадлежащих некоторому множеству

Учитывая, что ценность тождества состоит в возможности с его помощью данное выражение заменять другим, интерес представляет определение тождества в 1 смысле

Именно такое определение принято в школьном курсе математике, т.е.

Тождество – равенство, верное при любых значениях переменных.

Понятия тождества и тождественного преобразования, они явно вводятся в курсе алгебры VI класса. Само определение тождественных выражений не может быть практически использовано для доказательства тождественности двух выражений, и понять, что сущность тождественных преобразований состоит в применении к выражению определений и свойств тех действий, которые указаны в выражении, или в прибавлении к нему выражения, тождественно равного 0, или в умножении его на выражение, тождественно равное единице. Но, даже усвоив эти положения, учащиеся часто не понимают, почему указанные преобразования позволяют утверждать, что исходное и полученное выражение тождественны, т.е. принимают одинаковые значения при любых системах (наборах) значений переменных.

Методические приемы, способствующие осознанному усвоению тождественных преобразований

Мотивировка тождественных преобразований через разъяснение их целесообразности.

Варьирование записи тождеств и примеров выполнения тождественных преобразований с их помощью

Использование средств наглядности, опорных сигналов, ООД

Проведение аналогии между тождествами и числовыми равенствами

Теоретическое обоснование тождеств