Историческая и логическая последовательность изучения числовых мн-ств. Общий принцип расширения числовых мн-ств

Изучение чисел в школьном курсе математики ведется в такой последовательности: натуральные числа, нуль, дроби (положительные), отрицательные чисел и множество рациональных чисел, иррациональные числа и множество действительных чисел. Эта последовательность отражает исторический путь развития понятия числа в математике: N Q₊ Q R (историческая схема развития понятия числа). В математике дроби возникли значительно раньше, чем отрицательные числа. В современной математике принята другая последовательность: N Z Q R (логическая схема развития понятия числа). От исторической она отличается более ранним введением отрицательных чисел. Поэтому в такой последовательности после натуральных чисел изучаются целые числа. Приверженность школьного курса исторической схеме объясняется тем, что понятие дроби доступнее, чем понятие отрицательного числа.

Первое расширение понятия о числе, которое учащиеся усваивают после ознакомления с натуральными числами, - это добавление нуля. Сначала 0 – знак для обозначения отсутствия числа. Почему же нельзя делить на нуль? Разделить – значит найти . Два случая: 1) , следовательно, надо найти . Это невозможно. 2) , следовательно, надо найти . Таких сколько угодно, что противоречит требованию однозначности каждой арифметической операции.

Изучение нового числового множества идет по единой схеме:

• необходимость новых чисел;
• введение новых чисел;
• сравнение (геометрическая интерпретация);
• действия над числами;
• законы.

Сначала расширение числовых множеств происходит, пока множество не станет числовым полем. Не каждая из числовых систем является числовым полем. Например, система натуральных чисел не является числовым полем; система целых чисел тоже не числовое поле. Система рациональных чисел – числовое поле.

Поле (П) – множество, содержащее не менее двух элементов, на котором заданы две бинарные алгебраические операции – умножение и сложение, обе ассоциативные и коммутативные. Они связаны законом дистрибутивности. Кроме того, в П существует нулевой элемент: для любого и для каждого противоположного . Существует единичный элемент: . (Если в некоторой числовой системе все основные действия (сложение, вычитание, умножение и деление, кроме деления на нуль) выполнимы и однозначны относительно каждой пары чисел этой системы, такое множество называется числовым полем.) В системе рациональных чисел действия сложения, вычитания, умножения и деления (за исключением деления на нуль) выполнимы и однозначны относительно каждой пары чисел, т.е. определены так, что применение любого действия к паре рациональных чисел приводит к однозначно определенному рациональному числу. Этим же свойством обладает система действительных чисел. Невыполнимость одного из основных действий приводит к расширению числового множества. В курсе математики 5–6 классов имеет место построение множества рациональных чисел. Следует отметить, что последовательность расширений не однозначна. Возможны варианты:

N, 0 Обыкновенные дроби Десятичные дроби Рациональные числа (введение отрицательных чисел)

N, 0 Десятичные дроби Обыкновенные дроби Рациональные числа (введение отрицательных чисел)

N, 0 Десятичные дроби Отрицательные числа Обыкновенные дроби Рациональные числа (целые и дробные, положительные и отрицательные)

N, 0 Целые числа Десятичные дроби (положительные) Обыкновенные дроби (положительные) Рациональные числа (введение отрицательных чисел)

У П.М. Эрдниева в «Математике 5-6»:

N, 0 Дробные (обыкновенные и десятичные) Рациональные (введение отрицательных чисел)