Методика изучения обыкновенных и десятичных дробей

Первое знакомство с обыкновенными дробями происходит в 3 классе параллельно изучению натуральных чисел. Систематическое изучение дробей начинается в 5 классе. Десятичные дроби не являются новыми числами по сравнению с обыкновенными дробями. Они представляют лишь другую запись ранее известных обыкновенных дробей со знаменателями 10, 100, 1000 и т.д. В математических вычислениях и практических расчетах более удобными являются десятичные дроби. Обыкновенные дроби в вычислениях используются гораздо реже.
В методике математики существуют различные подходы к порядку изучения обыкновенных и десятичных дробей: 1) вначале изучаются обыкновенные дроби, затем – десятичные (традиционный подход), 2) вначале изучаются десятичные дроби, затем – обыкновенные, 3) смешанный вариант, при котором изучение обыкновенных и десятичных дробей чередуется.

Изучение десятичных дробей начинается и заканчивается в 5 классе. После этого в 6 классе вновь возвращаются к обыкновенным дробям: изучают сравнение произвольных дробей, арифметические действия над ними. Понятие процента примыкает к понятию десятичной дроби. Проценты – это новая форма записи десятичных дробей со знаменателем 100: 1%= =0,01, 15%= =0,15 и т.д.
Центральным в теме «Дробные числа» (5 класс) является понятие обыкновенной дроби. Оно вводится таким описанием (аналогично тому, как это делалось в 3 классе): приводится рисунок с изображением пирога, разрезанного на четыре равные части. Одна из них лежит на одной тарелке, а три части – на другой. Говорят: «На первой тарелке лежит одна четвертая часть пирога, а на второй – три четвертых части пирога». Пишут: « пирога, пирога». Далее сообщают, что такие числа как и , называют обыкновенными дробями. В дроби число 3 называют числителем дроби, а число 4 – ее знаменателем. ^ Характеристика дроби начинается со знаменателя: знаменатель показывает, на сколько равных частей разрезан пирог, а числитель – сколько надо взять таких частей. Числитель пи шут над чертой, а знаменатель – под чертой. Проведенные разъяснения повторяются на других примерах. Вместо пирога может быть взят круг (отрезок, прямоугольник, квадрат), разделенный на шесть(восемь, семь восемнадцать) равных частей.

Методическая схема введения понятия обыкновенной дроби в 5 классе:

1. выполнить материализованные действия по делению предмета на 4 равные части;
2. сообщить термины «одна четвертая», «три четвертых»;
3. ввести записи: , ;
4. сообщить термины «обыкновенная дробь», «числитель дроби», «знаменатель дроби»;
5. дать содержательную характеристику дроби (что показывает знаменатель дроби, что показывает ее числитель);
6. привести другие примеры дробей, записать и прочитать их.

Важным элементом методики изучения чисел является убеждение учащихся в целесообразности введения новых чисел. Возможность записать доли с помощью обыкновенных дробей является одним из приемов убеждения учащихся в полезности таких дробей. Помимо этого существуют еще два других приема, показывающих необходимость введения дробных чисел. Мотивировать введение дробных чисел можно также тем, что с их помощью операция деления натуральных чисел делается всегда выполнимой. Пример. В множестве натуральных чисел число 2 не делится на число 3. Дополним это множество дробями и вновь рассмотрим деление числа 2 на 3. Пусть требуется разделить 2 яблока между тремя учениками. Как это сделать? Разрежем каждое яблоко на три равные части. Одна такая часть выражается дробью . Если каждому ученику дать по две таких части, то два яблока будут поделены поровну между 3 учащимися. Две части выражаются дробью . Значит каждый ученик получает яблока, т.е. . Делается вывод о том, что деление натурального числа 2 на натуральное число 3 возможно, только при делении получается не натуральное число, а дробное . ^

Третий прием мотивации введения дробных чисел связывается с задачей измерения величин. Пример. Пусть требуется измерить длину отрезка в сантиметрах (выбирается отрезок, длина которого меньше одного сантиметра). При измерении учащимися отрезка обнаруживается, что его длина меньше 1 см. Для измерения такого отрезка удобно привлечь доли 1 см – миллиметры, при этом учитывая, что 1 мм = см. Пусть длина отрезка оказалась равной 9 мм. Это означает, что отрезок содержит см. Как видно, длина данного отрезка выражается в сантиметрах дробным числом. Без дробных чисел измерение его в сантиметрах невозможно.
Тенденция на усиление роли теоретических объяснений имеет место и при изучении темы «Дробные числа». По аналогии с натуральными числами объяснение правила сложения десятичных дробей может быть построено следующим образом.
Пусть требуется сложить две десятичные дроби 3,14 и 2,83. Воспользуемся разложением числа в виде суммы разрядных слагаемых, сочетательным и переместительным законами сложения обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями.

.

Поэтому для того, чтобы сложить две десятичные дроби «столбцом», необходимо записать их одну под другой так, чтобы единицы одинаковых разрядов находились друг под другом. Затем провести сложение единиц одинаковых разрядов, начиная с наименьшего для данных чисел разряда, и в полученном результате целую часть отделить от дробной запятой: