Методика введения и изучения свойств степеней с показателями из разных числовых множеств

Тождественные преобразования выражений, содержащих степени изучаются в 7 классе. После определения степени с натуральным показателем как произведения п раз числа а (4 класс, система Занкова),
где ап = а ∙ а ∙ а.....а
п раз а 0, п N
рассматриваются темы х: степеней; возведение в степень произведения и дроби, возведение степени в степень и в связи с этим изучаются тождества:

После изучения тождеств возводят в степень одночлены.
Уточняют, в каком случае показатели степеней складывают, а в каком перемножают.

Расширение понятия степени проводится последовательно в зависимости от ее показателя (натурального, целого, рационального, действительного). Оно осуществляется так, чтобы сохранились все основные свойства степени с натуральным показателем. Это возможно лишь тогда, когда основание степени положительно. Например, степень с дробным показателем определяется так: a m\ n = a m\n, где a > 0, m — целое число, n — натуральное число, n ≥ 2, m\ n — несократимая дробь.
Иногда (в других книгах) степень с рациональным нецелым показателем определяют и для отрицательного основания. Но тогда может оказаться, что выражение a m\n не имеет смысла и для него не выполняются некоторые свойства степени. Так, нельзя определять степень числа a < 0 с дробным показателем m n формулой a m n = a m n, так как при нечетном m и четном n выражение am n не имеет смысла (например,  (−3) 3). Также нельзя считать, что (−8) 1 3 = −8 3 =−2, так как 1 3 = 2 6, т. е. должно выполняться равенство (−8) 1 3 = (−8) 2 6, но (−8) 2 6 = (−8) 2 6 =2.
Степень с иррациональным показателем поясняется на конкретном примере: число 3 2 рассматривается как последовательность его рациональных приближений 31,4, 31,41,.... Здесь же формулируются свойства степени с действительным показателем, которые будут использоваться при решении уравнений, неравенств и исследовании функций.