Формулировка критерия для первого случая

а) Замкнутая система устойчива, если годограф при изменении от до не охватывает точку .

б) Замкнутая система устойчива, если разность между числами положительных и отрицательных переходов годографа через вещественную ось левее точки равна .

Положительный переход – когда вектор поворачивается на положительный угол. Отрицательный – когда вектор поворачивается на отрицательный угол.

2 случай. Разомкнутая система неустойчива.

Пусть число корней с положительными вещественными частями уравнения равно . В этом случае вектор при изменении от до повернется на угол .

Если замкнутая система устойчива, то при изменении от до повернется на угол .

Тогда повернутся на угол .

Формулировка. Если разомкнутая система неустойчива, то замкнутая может быть устойчива, если годограф при изменении от до будет охватывать точку раз в положительном направлении.

Дано:

Годограф на рис. охватывает точку один раз в положительном направлении, что соответствует . Следовательно, замкнутая система устойчива.

Рис. 6.12

3 случай. Система в разомкнутом состоянии нейтральна.

В этом случае передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

где – интегрирующее звено, - показатель астатизма системы (то есть число интегрирующих звеньев).

Уравнение не содержит корней с положительной вещественной частью.

В этом случае нельзя пользоваться рассмотренными критериями, так как принцип аргумента, лежащий в основе критерия Михайлова, не рассматривает варианты, когда корни находятся на мнимой оси. При , и нельзя судить охватывает годограф точку или нет. Поэтому пользуются предельным переходом, чтобы выяснить поведение годографа при .

Для этого от нейтральной системы переходят к устойчивой в разомкнутом состоянии, полагая вместо , (пусть )

Тогда получим

.

Если , то .

Таким образом, если нулевых корней , то проводится дуга бесконечно большого радиуса, соединяющая положительную вещественную полуось и АФХ при . Причем угловой размер дуги равен 90.

Рис. 6.13

При годографы и совпадают на всех частотах, кроме . Годограф разомкнутой системы можно рассматривать как годограф вместе с дополнением к бесконечности.

Формулировка критерия. Замкнутая система устойчива, если годограф вектора вместе с дополнением к бесконечности не охватывает точку .