F) Унитарного оператора

Решение:

Воспользуемся общим правилом вычисления матричных элементов оператора :

,

а также определениями соответствующих операторов, приведенных в таблице 1, и свойствами скалярного произведения функций (10.10)-(10.12) и (11.12).

а) Результат: .

b) Так как любое комплексное число имеет вид z = a + ib, то используя правило сложения матриц получаем:

Результат: .

с) .

Результат: .

d) Воспользуемся результатом задачи (2.2): .

Результат: .

е) Для дальнейшего, введем определитель , и обозначим матричные элементы обратного оператора через . Запишем определение обратного оператора в развернутом виде:

.

Приравнивая соответствующие матричные элементы, найдем искомые параметры:

Результат:

.

f) На основании определения унитарного оператора и результатов п.d) и f), получаем:

.

Таким образом, окончательно имеем:

Результат: .

2.12. Показать, что в квантовой механике имеют место те же соотношения, что и в классической физике, но записанные для средних значений физических величин, в частности:

а) (I теорема Эренфеста);