Имеют общие собственные функции

Решение:

Не умаляя общности, ограничимся случаем невырожденных собственных значений. Пусть ψ - с.ф. оператора и , необходимо доказать, что

Рассмотрим цепочку очевидных соотношений:

Отсюда следует, что функции ψ и являются с.ф. оператора , соответствующие одному и тому же с.з. λ, т.е. они являются физически эквивалентными и могут отличаться лишь на произвольное число μ, т.е.

2.9. Доказать теорему:

Пусть имеется две физические величины F и R, самосопряженные операторы которых не коммутируют, так что выполняется условие:

.

Тогда утверждается, что неопределенности измерения величин и связаны условием:

. (12.5)

Указание: Для доказательства рассмотреть интеграл вида:

где α - произвольный вещественный параметр.

Решение:

Под неопределенностями физических величин F и R cледует понимать среднеквадратичные отклонения F и R от своих средних значений:

Для нулевых средних значений можно считать и Следует сразу отметить очевидное неравенство при любом α. Используя свойство эрмитовости операторов и , не сложно преобразовать интеграл к виду:

Последнее неравенство при любом α имеет место, если дискриминант D квадратного трехчлена не является положительным:

что и доказывает наше утверждение:

Показать, что в квантовой механике невозможно "измерить" две любые проекции момента импульса (например, и). Однако, квадрат момента импульса может быть измерен вместе с любой своей проекцией (например,).

Решение:

Учитывая коммутационные соотношения между операторами проекций координаты и импульса (10.6), не сложно получить условия:

которые и решают поставленную проблему.

2.11. Пусть оператор задан в виде двухрядной матрицы с известными матричными элементами :

.

Построить матрицу:

a) Единичного оператора ;

b) Комплексно сопряженного оператора ;

c) Транспонированного оператора ;

d) Эрмитово сопряженного оператора ;

е) Обратного оператора ;