Доказать, что операция эрмитового сопряжения эквивалентна двум независимым операциям: транспонирования и комплексного сопряжения, т. е

Задачи к главе II

2.1. Возвести в квадрат оператор

Решение:

Для произвольной функции имеем:

тогда

Доказать, что операция эрмитового сопряжения эквивалентна двум независимым операциям: транспонирования и комплексного сопряжения, т. е..

Решение:

По определению эрмитового сопряжения:

С другой стороны, используя операции транспонирования и комплексного сопряжения, а также свойства скалярного произведения, получаем:

Сравнение двух последних условий доказывает наше утверждение.

2.3. Доказать операторные равенства:

2.4. Доказать операторные равенства: