Метод половинного деления. Пусть f(x) непрерывна на [a, b] и f(a)×f(b) < 0

Пусть f (x) непрерывна на [ a, b ] и f (a) ×f (b) < 0. Делим отрезок [ a, b ] пополам и находим координату середины с= (a+b) / 2 (рис.5.1). Если f (c) = 0, что вообще-то маловероятно, то задача решена: x = c есть корень уравнения f (x) = 0.

Рис.5.1 – Геометрическая интерпретация метода половинного деления

Если f (x) ¹ 0, то выбираем одну из тех половин, на концах которой функция имеет противоположные знаки, то есть ту, для которой

f (с) ×f (х_гран) < 0.

Здесь х_гран – или, а или b.

Новый отрезок (назовем его [ a ₁, b ₁]) снова делим пополам и выполняем те же самые действия. В результате получим или точный корень, или бесконечную последовательность вложенных друг в друга отрезков [ a ₁, b ₁], [ a ₂, b ₂],..., [ a_n, b_n ], где

b_n – a_n = (b – a) / 2 ⁿ.

Процесс прекращается, когда ½ b_n – a_n ½< e и/или ½ f (с_n)½< e, где

e – заданная точность нахождения корня.

Положительные стороны метода: всегда сходится («абсолютно застрахован от неудачи» [10]).

Отрицательные стороны метода: 1) довольно медленный; 2) не обобщается на системы уравнений.

Существуют другие названия этого метода: метод бисекции, метод дихотомии.