![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Рассмотренные выше методы решения нелинейных трансцендентных уравнений пригодны и для алгебраических уравнений. Вместе с тем, есть некоторые особенности.
Например, крайняя неустойчивость корней некоторых полиномов как функций от их коэффициентов, что предъявляет особые требования к точности вычисления коэффициентов и вообще точности вычислений (так называемые плохо обусловленные полиномы).
С другой стороны,
1) для полиномов всегда наперед известно число корней: полином Pn (x) = anxn + an– 1 xn– 1 +… + a 1 x + a 0, где a 0, … an – действительные числа (an ¹0) имеет ровно n корней, действительных или комплексных, при условии, что каждый корень считается столько раз, какова его кратность;
2) комплексные корни образуют комплексно–сопряженные пары, т.е. каждому корню x = c + id соответствует x = c – id;
3) известны оценки границ корней полинома: [1], где
(5.11)
Отметим, что, во-первых, это завышенные оценки, и, во-вторых, в связи с малостью r на практике пользуются оценкой , и, в-третьих, эти оценки справедливы и для комплексных корней.
Пример. P 3(x) = 0,6 x 3 – 4 x 2 + 5 x + 4 =0.
;
.
Корни этого полинома x1» –0,544; x2» 2,743; x3» 4,467. Их абсолютные значения лежат в диапазоне [0,4(4); 9,3(3)].
Также известна теорема Лагранжа. Пусть аn > 0 и 0 £ k £ n– 1 – номер первого отрицательного коэффициента полинома Pn (x), если просматривать их в порядке убывания степени x. Тогда за верхнюю границу положительных корней уравнения Pn (x)=0 может быть взято число , где C наибольшая из абсолютных величин отрицательных коэффициентов полинома Pn (x). Если отрицательных коэффициентов нет, то есть все ai ³0, то Pn (x) не имеет положительных корней.
Возьмем тот же пример: P 3(x) = 0,6 x 3 – 4 x 2 + 5 x + 4 =0.
k =1; C =4; .
Рассмотрим применение метода Ньютона к решению алгебраического уравнения:
.
На каждом итерационном шаге в точке xk требуется вычислять значение полинома n -ой степени и полинома n -1 степени
P′ (x) = nanxn– 1 + (n– 1) an –1 xn –2 + …+ a 1.
Для сокращения объема вычислений можно использовать схему Горнера. Имеем рекуррентные формулы bn = an; bj = aj + xk bj+ 1, j = n –1,…,0. В результате получаем P (xk) =b 0. Применяем этот же метод к полиному
P′ (x) = dnxn– 1 + dn– 1 xn– 2 + … + d 1 ,
получаем рекуррентные формулы
cn = dn; cj = dj + xk cj+ 1, j = n– 1, …, 1
и в результате P¢ (xk) = c 1. Следовательно, . Отметим, что для уменьшения погрешностей лучше сначала находить наименьшие по модулю корни многочлена и сразу удалять их из уравнения, приводя его к меньшей степени (применяя ту же схему Горнера). Эта процедура помогает и в отыскании кратных корней.
Как быть, если рассматриваемое уравнение имеет комплексные корни? Должно быть ясно, что если все значения функции вещественны и в качестве начального приближения x 0 также взято вещественное число, то и все последующие значения xk также будут вещественны.
Однако если взять в качестве x 0 комплексное число, то последующие xk также могут оказаться комплексными. Поэтому изложенные методы годятся и для работы с комплексными числами.
Кроме того, многочлен Pn (x), имеющий пару комплексных корней x 1,2 = c ± id, можно записать в следующем виде:
Pn (x) = (x–x 1)(x–x 2) Pn– 2(x);
или, после подстановки, x 1 и x 2
Pn (x) = ((x–с)2+ d 2) Pn– 2(x)
и провести анализ, подобный тому, который мы провели выше.
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 578 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!