Уравнение с одним неизвестным

РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И

СИСТЕМ

УРАВНЕНИЕ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ

Пусть задана функция f (x) действительного переменного. Требуется найти корни уравнения

f (x)=0. (5.1)

Нелинейные уравнения можно разделить на два класса – алгебраические и трансцендентные. Алгебраические уравнения содержат только алгебраические функции, например полиномы. Трансцендентные уравнения содержат и другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические).

Приближенные (численные) методы решения таких уравнений, как правило, представляют собой итерационные методы, то есть методы последовательных приближений. Задача нахождения корней нелинейных уравнений обычно решается в два этапа.

Этап 1. Изучается количество, характер и расположение корней. Проводится их разделение, то есть выделяются области, содержащие только один корень. Цель этого этапа – получить хорошее начальное приближение для реализации итерационного процесса.

Разделение корней можно проводить графически, представив уравнение (5.1) в виде f ₁(x) = f ₂(x) и определив примерно точки пересечения. В сомнительных случаях графическое отделение корней следует подкрепить вычислениями. При этом полезно помнить, что:

1) если непрерывная на [ a, b ] функция f (x) принимает на концах отрезка значения разных знаков, то есть f (a) ×f (b)< 0, то уравнение (5.1) имеет на этом отрезке, по меньшей мере, один корень;

2) если функция f (x) к тому же и строго монотонна, то корень на отрезке [ a, b ] единственный.

Разделение корней можно проводить с помощью ЭВМ, составив простейшую программу табулирования функции f (x)с некоторым шагом h= (b–a) /N, где [ a, b ] – отрезок поиска корней (начальный интервал неопределенности). Сравниваем значения функции f (x) в соседних точках x и x+h. Как только они будут иметь разные знаки – это отрезок «подозрительный» на корни. Очевидно, что надежность такого подхода зависит как от характера поведения функции, так и от величины шага.

За начальное приближение тогда можно взять один из концов отрезка перемены знака или середину этого отрезка.

Этап 2. Строится итерационный процесс, позволяющий с заданной степенью точности уточнить значение отыскиваемого корня.

Рассмотрим некоторые методы построения этих итерационных процессов.