Допускающие понижение порядка. I. Уравнение вида у¢¢ = f (x) не содержит явно у и у ¢

I. Уравнение вида у ¢¢ = f (x) не содержит явно у и у ¢.

Вводим замену у ¢ = р (х) Þ у ¢¢ = р ¢(х) и подставим в уравнение: р ¢ = f (x) - уравнение первого порядка. Его решение

В более общем случае у ^(п) = f (x) решение получается путем п – кратного интегрирования функции f (x), т. е.

II. Уравнение вида у ¢¢ = f (x, y ¢) не содержит явно у.

Полагая у ¢ = р (х) получим у ¢¢ = р ¢(х) и подставив в уравнение получим уравнение первого порядка

р ¢ = f (x, p)

с неизвестной функцией р. Решая его найдем функцию р (х) = φ (х, С ₁).

Так как р (х) = у ¢, то у ¢ = φ (х, С ₁), отсюда интегрируя еще раз получим решение исходного уравнения

III. Уравнение вида у ¢¢ = f (y, y ¢) не содержащим явно х. Вводится новая функция у ¢ = р (у (х)). Тогда

Подставляя в уравнение получим уравнение первого порядка относительно функции р (как функции от у):

р× р ¢ = f (y, p).

Решая его, найдем р = φ (у, С ₁), т. к. р = у ¢, то у ¢ = φ (у, С), отсюда

.

В итоге, общий интеграл исходного уравнения имеет вид