Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Обыкновенные дифференциальные уравнения



ГЛАВА 13

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Определение 1. Дифференциальным уравнением называется равенство, содержащее независимые переменные, искомую функцию и ее производные, т. е. F(x, y, y’, y’’, ¼, y(n)) =0.

Определение 2. Порядок старшей производной, входящей в состав уравнения, называется порядком уравнения.

Определение 3. Решением дифференциального уравнения называется функция, имеющая непрерывные производные до порядка, равного порядку уравнения, и обращающая это уравнение в тождество.

Определение 4. Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрированием этого уравнения.

Определение 5. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Основная задача интегрирования дифференциального уравнения состоит в нахождении всех решений этого уравнения и изучении их свойств.

Итак, обыкновенное дифференциальное уравнение п – порядка имеет вид

F (x, y, y¢, y¢¢, ¼, y ( n ))= 0. (1)

Определение 6. Общим решением дифференциального уравнения (1) называется такое решение его

у = φ (x, C 1, C 2,¼, Cn),

которое содержит столько независимых произвольных постоянных C 1, C 2,¼, Cn, каков порядок этого уравнения.

Если общее решение найдено в неявном виде

Ф (x, у, C 1, C 2,¼, Cn) = 0,

то оно называется общим интегралом.

Определение 7. Всякое решение дифференциального уравнения, которое получается из общего решения, при определенных значениях произвольных постоянных, в него входящих, называется частным решением этого дифференциального уравнения.

Определение 8. Задача о нахождении решения уравнения (1) удовлетворяющего условиям

y (x 0) = y 0, y ¢ (x 0) = y ¢0, ¼, y (n -1)(x 0) = y 0 n -1, (2)

называется задачей Коши, условия (2) - начальными условиями, а числа x 0, y 0, y ¢0, ¼, y 0 n -1 - начальными данными решения уравнения (1).





Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 166 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.005 с)...