Обыкновенные дифференциальные уравнения

ГЛАВА 13

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Определение 1. Дифференциальным уравнением называется равенство, содержащее независимые переменные, искомую функцию и ее производные, т. е. F(x, y, y’, y’’, ¼, y⁽ⁿ⁾) =0.

Определение 2. Порядок старшей производной, входящей в состав уравнения, называется порядком уравнения.

Определение 3. Решением дифференциального уравнения называется функция, имеющая непрерывные производные до порядка, равного порядку уравнения, и обращающая это уравнение в тождество.

Определение 4. Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрированием этого уравнения.

Определение 5. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Основная задача интегрирования дифференциального уравнения состоит в нахождении всех решений этого уравнения и изучении их свойств.

Итак, обыкновенное дифференциальное уравнение п – порядка имеет вид

F (x, y, y¢, y¢¢, ¼, y ^{( n )})= 0. (1)

Определение 6. Общим решением дифференциального уравнения (1) называется такое решение его

у = φ (x, C ₁, C ₂,¼, C_n),

которое содержит столько независимых произвольных постоянных C ₁, C ₂,¼, C_n, каков порядок этого уравнения.

Если общее решение найдено в неявном виде

Ф (x, у, C ₁, C ₂,¼, C_n) = 0,

то оно называется общим интегралом.

Определение 7. Всякое решение дифференциального уравнения, которое получается из общего решения, при определенных значениях произвольных постоянных, в него входящих, называется частным решением этого дифференциального уравнения.

Определение 8. Задача о нахождении решения уравнения (1) удовлетворяющего условиям

y (x ₀) = y ₀, y ¢ (x ₀) = y ¢₀, ¼, y ^{(n -1)}(x ₀) = y ₀ ^{n -1}, (2)

называется задачей Коши, условия (2) - начальными условиями, а числа x ₀, y ₀, y ¢₀, ¼, y ₀ ^{n -1} - начальными данными решения уравнения (1).