Элементы теории комплексных чисел

Определение 24. Число z = x + i∙y, где х, у - любые действительные числа, i - мнимая единица (i ² = – 1), называется комплексным числом, х - его действительной частью, у - мнимой частью.

Замечание. Арифметические действия над комплексными числами производятся по обычным правилам действий над обыкновенными двучленами (х + i∙y), но в результате i ² везде заменяется на – 1.

Величина называется модулем числа z и обозначается | z |,

Угол φ называется аргументом комплексного числа z и обозначается arg z.

Определение 25. Если z = x + i∙y, то комплексное число x – i∙y называется сопряженным с z и обозначается , т. е.

Определение 26. Тригонометрическая форма записи комплексного числа имеет вид

z = x + i∙y = r (cos φ + i sin φ).

где r = | z |, φ = arg z.

Определение 27. Уравнение вида

у ¢¢ + р у¢ + q y = 0,

где р, q - вещественные числа, называется линейным однородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Определение 28. Пусть дано линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

у ¢¢ + р у¢ + q y = 0. (11)

Уравнение вида

k ² + p k + q = 0 (12)

называется характеристическим уравнением данного уравнения (11).

Т е о р е м а 3. (о частных решениях уравнения (11)).

1. Если число k - действительный корень уравнения (12), то у = e^kx является частным решением уравнения (11).

Если k _{1, 2} = a ± b i - комплексно сопряженные корни уравнения (12), то функции являются частным решением уравнения (9).

Т е о р е м а 4. (об общем решении уравнения (12)).

Если корни характеристического уравнения (11) вещественные и различные (k ₁ ¹ k ₂), то общее решение уравнения (12) имеет вид

Если корни уравнения (12) вещественные и равные (k ₁ = k ₂), то общее решение уравнения (11) имеет вид

Если корни характеристического уравнения (12) комплексные , то общее решение (10) имеет вид