Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Определение 21. Уравнение вида

Определение 21. Уравнение вида

у ¢¢ + р (х) у ¢ + q (x) y = f (x), (9)

p (x), q (x), f (x) - непрерывные в некотором интервале функции, называется линейным дифференциальным уравнением второго порядка.

Если f (x) º 0, то уравнение называется однородным,

f (x) ¹ 0 - неоднородным.

у ¢¢ + р (х) у ¢ + q (х) у = 0. (10)

Т е о р е м а 1. (основное свойство частного решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка).

Если функции у ₁(х) и у ₂(х) решения уравнения (10), то функция

у = С ₁ у ₁ (х) + С ₂ у ₂ (х)

также является решением уравнения (9). Это свойство проверяется непосредственной подстановкой у в уравнение (10).

Определение 22. Функции у ₁ и у ₂ называются линейно зависимыми в некоторой области, если существуют такие числа a и b, из которых хотя бы одно не равно нулю, что для любого х из этой области имеет место равенство

a∙ у ₁ + b∙ у ₂ = 0.

то есть, если

Определение 23. Функции у ₁ и у ₂ называются линейно независимыми в некоторой области, если равенство a∙ у ₁ + b∙ у ₂ = 0 выполняется только при a = b = 0. То есть у ₁ и у ₂ - линейно независимые, если

Т е о р е м а 2. (об общем решении уравнения (10)). Если функции у ₁(х) и у ₂(х) линейно независимы на некоторой области решения уравнения (10), то функция

у = С ₁ у ₁ (х) + С ₂ у ₂ (х)

(С ₁, С ₂ - произвольные постоянные) является общим решением уравнения (10).