Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Определение 21. Уравнение вида



Определение 21. Уравнение вида

у ¢¢ + р (х) у ¢ + q (x) y = f (x), (9)

p (x), q (x), f (x) - непрерывные в некотором интервале функции, называется линейным дифференциальным уравнением второго порядка.

Если f (x) º 0, то уравнение называется однородным,

f (x) ¹ 0 - неоднородным.

у ¢¢ + р (х) у ¢ + q (х) у = 0. (10)

Т е о р е м а 1. (основное свойство частного решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка).

Если функции у 1(х) и у 2(х) решения уравнения (10), то функция

у = С 1 у 1 (х) + С 2 у 2 (х)

также является решением уравнения (9). Это свойство проверяется непосредственной подстановкой у в уравнение (10).

Определение 22. Функции у 1 и у 2 называются линейно зависимыми в некоторой области, если существуют такие числа a и b, из которых хотя бы одно не равно нулю, что для любого х из этой области имеет место равенство

a∙ у 1 + b∙ у 2 = 0.

то есть, если

Определение 23. Функции у 1 и у 2 называются линейно независимыми в некоторой области, если равенство a∙ у 1 + b∙ у 2 = 0 выполняется только при a = b = 0. То есть у 1 и у 2 - линейно независимые, если

Т е о р е м а 2. (об общем решении уравнения (10)). Если функции у 1(х) и у 2(х) линейно независимы на некоторой области решения уравнения (10), то функция

у = С 1 у 1 (х) + С 2 у 2 (х)

(С 1, С 2 - произвольные постоянные) является общим решением уравнения (10).





Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 189 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.006 с)...