С постоянными коэффициентами. Определение 29. Функцию f (x) будем считать специальной, если она представляет собой многочлен, или показательную функцию или тригонометрическую функцию sin

Определение 29. Функцию f (x) будем считать специальной, если она представляет собой многочлен, или показательную функцию или тригонометрическую функцию sin b x или cos b x, или линейную комбинацию перечисленных функций.

у ¢¢ + р у ¢ + q y = f (x) (13)

Т е о р е м а 5. (об общем решении уравнения (13)): Общее решение уравнения (11) представляет собой сумму любого его частного решения и общего решения у ₀ соответствующего однородного уравнения, т. е.

Доказательство. Пусть - частное решение уравнения (13), а

у ₀ = С ₁ у ₁ (х) + С ₂ у ₂ (х)

общее решение уравнения (11).

Покажем, что - решение уравнения (13). Для этого найдем

,

и подставим в (13)

Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые

,

следовательно, - решение уравнения (13).

Покажем теперь, что оно является общим решением уравнения (13).

Для этого возьмем любое решение у уравнения (13) и рассмотрим разность . Эта разность является решением уравнения (11). Действительно,

,

следовательно, может быть записана в виде

где определенные значения постоянных С ₁ и С ₂.

Итак, любое решение у уравнения (13) получается из формулы при соответствующем подборе произвольных постоянных С ₁ и С ₂, т. е. функция - общее решение уравнения (1).

Итак, чтобы найти общее решение уравнения (13) надо найти общее решение соответствующего однородного уравнения и какое-нибудь частное решение неоднородного уравнения, вид которого зависит от вида правой части f (x) этого уравнения.

Частное решение неоднородного уравнения может быть найдено по методу неопределенных коэффициентов:

1. по виду правой части уравнения (13) записывается форма частного решения с неопределенными коэффициентами;

2. затем таким образом сформированное частное решение подставляется в дифференциальное уравнение (13);

3. из полученного тождества определяются значения коэффициентов.

Запишем виды частных решений уравнения (13) для различных правых частей в виде таблицы.