С разделяющимися переменными

Определение 11. Дифференциальное уравнение вида

X (x) d x + Y (y) d y = 0 (5)

называется уравнением с разделенными переменными.

Считая y = φ(x) известной, это уравнение можно рассматривать как сумму двух дифференциалов, а неопределенные интегралы от них будут отличаться постоянным числом. То есть общий интеграл уравнения (5) имеет вид:

Определение 12. Уравнение вида

X ₁(x) Y ₁(y) d x + X ₂(x) Y ₂(y) d y = 0

называется уравнением с разделяющимися переменными.

Уравнение с разделяющимися переменными может быть приведено к уравнению (5) путем деления обеих частей уравнения на произведение Y ₁(y) X ₂(x):

Замечание. Уравнение у ¢ = f ₁(x) f ₂(y) приводится к уравнению (5) следующим образом

,

Решение f ₂(y) = 0 может быть особым.