Линейные дифференциальные уравнения

Определение 16. Уравнение вида

у¢ + р (х) у = f (x), (6)

где р (х) и f (x) - непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Если f (x) º 0, то уравнение (6) называется линейным однородным уравнением. Если f (x) ¹ 0, то уравнение (6) называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением.

Для нахождения общего решения уравнения (6) можно пользоваться следующим способом.

Будем искать решение у (х) уравнения (6) в виде

у (х) = U (x) ∙ V (x), (7)

где U (x) и V (x) – неизвестные функции, одна из которых, например V (x), может быть выбрана произвольно. Подставляя у (х) в форме (7) в уравнение (6), учитывая, что у ¢ = U ¢ (x) ∙ V (x) + U (x) ∙ V ¢ (x):

U ¢∙ V + U ∙ V ¢ + p (x)∙ U ∙ V = g (x).

После элементарных преобразований получим

U ¢∙ V + U ∙(V ¢ + p (x)∙ V) = g (x).

Выберем в качестве V (x) любое частное решение V (x) ¹ 0 уравнения

V ¢ + p (x)∙ V = 0,

Тогда U ¢∙ V = g (x).

Итак, решение уравнения (5) сводится к решению системы дифференциальных уравнений (сначала решается первое уравнение, затем второе)

Зная U (x) и V (x), найдем решение у (х) по формуле (7) уравнения (6).