![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
9.3. Доказать, что последовательность является бесконечно большой.
Решение. Так как последовательность является бесконечно большой, а предел последовательности
равен 3, то из следствия к теореме 2.17 следует, что последовательность
является бесконечно большой.
9.4. Доказать, что последовательность является бесконечно большой.
Решение. Имеем: . Так как последовательность
является бесконечно большой, а последовательность
имеет предел, то из следствия к теореме 2.15 получаем, что последовательность
является бесконечно большой. ●
Задачи
9.2. Доказать, что последовательность является бесконечно большой:
а) , б)
, в)
, г)
, д)
, е)
.
9.3. Доказать, что если
и
, то
.
9.4. Доказать, что подпоследовательность бесконечно большой последовательности является бесконечно большой.
9.5. Последовательность ограничена, а последовательность
. Доказать, что последовательность
.
9.7. Доказать, чтоесли , то
.
9.8. Доказать, что если
, то последовательность
имеет наименьший (наибольший) элемент.
9.10. Доказать, что неограниченная последовательность содержит бесконечно большую подпоследовательность.
§ 2.10. Предел последовательности точек в пространстве
Если каждому натуральному числу поставлена в соответствие точка
пространства
:
,
,
,…
…
,
то говорят, что задана последовательность точек в пространстве
. Другими словами, последовательность точек в пространстве
— это точки этого пространства, занумерованные всеми натуральными числами и расположенные в порядке возрастания номеров. Эти точки будем называть также членами или элементами последовательности.
Последовательность точек будет задана, если указан метод вычисления члена при каждом значении
.Число
называют общим или
- м членом последовательности. Чаще всего указываются выражения для координат точки
последовательности, при помощи которых находятся члены последовательности. Если общий член последовательности имеет вид:
,
,
,
то соответствующая последовательность точек будет иметь вид:
,
,…,
,….
Последовательность точек , все члены которой совпадают с одной и той же точкой, называется стационарной.
Точка называется пределом последовательности точек
,
, пространства
, если выполняются условия:
;
;…;
,
т.е. последовательность первых координат точек ,
, сходится к первой координате точки
; последовательность вторых координат точек
,
, сходится ко второй координате точки
; и т.д.; последовательность последних координат точек
,
, сходится к последней координате точки
.
Последовательность точек, имеющая предел, называется сходящейся. Если точка является пределом последовательности
, то это обозначают символом
или
при
. Если последовательность не имеет предела, то хотя бы одна последовательность ее координат не имеет предела. Такую последовательность называют расходящейся.
Пример
10.1. Найти предел последовательности точек .
Решение. Так как
,
,
,
то последовательность точек ,
, сходится к точке
.●
Последовательность точек в пространстве
и фиксированная точка
определяют числовую последовательность
. (10.1)
Если — подпоследовательность последовательности
, то
является подпоследовательностью последовательности (10.1).
Теорема 2.15. Дана последовательность точек ,
, в пространстве
и точка
. Следующие условия равносильны.
1. .
2. .
3. Каждая окрестность точки
содержит все точки последовательности
при всех
,
некоторое натуральное число.
Доказательство.
1 2. Возьмем произвольное число
. Из условия
вытекает, что
при любом
. Отсюда и условия 2 теоремы 2.5 следует справедливость неравенства
при любом
,
.
Обозначим символом . Тогда все неравенства:
,
,…,
будут справедливы при всех . Рассмотрим числовую последовательность
. Теперь неравенство
справедливо при всех . Из условия 2 теоремы 2.5 следует
.
2 3. Рассмотрим произвольную окрестность
точки
. Из условия
и условия 2 теоремы 2.5 получаем, что неравенство
, т.е.
, справедливо при всех
.
3 1. Заметим, что при любом
и любом
верно неравенство
. (10.2)
Возьмем произвольное число . Из условия 3 теоремы 2.15 имеем:
при всех
. Отсюда и из неравенства (10.2) следует, что неравенство
справедливо при всех
и любом
. Теперь из условия 2 теоремы 2.5 вытекает
при любом
, поэтому
. ■
Следствие. Если в каждой окрестности точки
выберем точку
, то
Доказательство. Так как и крайние члены этого неравенства сходятся к нулю, то из теоремы о трех последовательностях следует, что
. Из теоремы 2.15 следует, что
. ■
Последовательность точек в пространстве наследует часть свойств числовых последовательностей. Докажем два таких свойства.
Теорема 2.16. Следующие утверждения справедливы.
1. Сходящаяся последовательность точек в пространстве
ограничена.
2. Если , то любая подпоследовательность
последовательности
сходится к точке
.
Доказательство.
1. Из сходимости последовательности вытекает покоординатная сходимость: последовательность
сходятся при любом
. Следовательно, последовательность
ограничена при любом
. Теперь из определения ограниченного множества вытекает ограниченность последовательности
.
2. Так как последовательность , то из условия 2 теоремы 2.15 следует
. Из утверждения 2 в §5 получаем, что предел подпоследовательность
последовательности
также равен нулю. Значит последовательность
(теорема 2.15). ■
В дальнейшем изучении математического анализа неоднократно будет использоваться следующая характеризация предельных точек множества в терминах сходимости последовательности точек.
Теорема 2.17. Точка является предельной точкой множества
в пространстве
тогда и только тогда, когда во множестве
найдется последовательность точек
, причем
при любом
, сходящаяся к точке
.
Необходимость. Так как — предельная точка, то в каждой окрестности
найдется точка
и
. Отсюда вытекает двойное неравенство
. Крайние члены в этом неравенстве сходятся к нулю. Из теоремы о трех последовательностях следует, что
.
Теперь из теоремы 2.15 получаем, что .
Достаточность. Последовательность точек из множества
сходится к точке
, причем
при любом
. Тогда в каждой окрестности точки
содержатся все точки последовательности
, начиная с некоторого номера. Следовательно, в каждой окрестности точки
содержатся точки множества
, отличные от точки
, поэтому
— предельная точка множества
. ■
Следствие. Если члены сходящейся последовательности точек принадлежат замкнутому множеству, то и ее предел принадлежит этому множеству.
Доказательство следствия вытекает из достаточности теоремы и определения замкнутого множества. ■
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 575 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!