Примеры. 9.1. Найти предел последовательности

9.1. Найти предел последовательности .

Решение. Так как ограниченная последовательность, а , то из первого свойства бесконечно малых последовательностей следует, что

. ●

Теорема 2.13. Если , , и члены последовательности положительны, то — бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Так как , то можно взять настолько малым, чтобы выполнялось неравенство . Из условий , и следствия к теореме 2.5 вытекает, что при всех имеем верные неравенства . Следовательно, последовательность является убывающей, а также она ограничена снизу числом нуль. Поэтому эта последовательность имеет предел. Из 1-го утверждения в §5 вытекает, что последовательность тоже имеет предел.

Докажем, что . Если предположить, что , то

, (9.1)

так как предел подпоследовательности равен пределу последовательности (2-е утверждение в § 2.5). По условию , чтопротиворечит равенству (9.1). Следовательно, . ■