Примеры. 9.2. Найти предел последовательности :

9.2. Найти предел последовательности :

a) , б)

Решение

а) Найдем предел последовательности . Так как , то

= .

Из теоремы 2.13 следует, что .

б) Найдем предел последовательности . Так как , то

= .

Из теоремы 2.13 следует, что . ●

Задачи

9.1.Найти предел последовательности :

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) .

Бесконечно большие последовательности

Среди неограниченных последовательностей выделяют бесконечно большие последовательности. Именно, последовательность называется бесконечно большой, если для любого неравенство справедливо при всех . В этом случае пишут . Если ее члены положительны (отрицательны), то пишут .

Замечание. Равносильны следующие утверждения:

1. или .+

2. Для каждого числа окрестность или бесконечно удаленной точки содержит члены последовательности при всех , где некоторое натуральное число.

Доказательство следует из цепочки равносильных утверждений:

или или при всех или при всех .▲

Последовательности , , — примеры бесконечно больших последовательностей, причем , , .

Бесконечно большая последовательность является неограниченной, но существуют неограниченные последовательности, которые не являются бесконечно большими. Например, последовательность является неограниченной, так как содержит подпоследовательность , но неравенство не выполняется для всех элементов с нечетными номерами.

Теорема 2.14. Последовательность , члены которой не равны нулю, является бесконечно большой тогда и только тогда, когда последовательность бесконечно малая.

Доказательство. Возьмем любое . Тогда число также произвольное число. Доказательство теоремы следует из следующей цепочки равносильных утверждений: последовательность бесконечно большая

справедливо при всех справедливо при всех число — предел последовательности последовательность бесконечно малая. ■