Решение. а)Последовательность содержит неограниченную подпоследовательность , которая расходится

а)Последовательность содержит неограниченную подпоследовательность , которая расходится. Из второго утверждения следствия к свойству 3 следует, что последовательность расходится.

б) Последовательность содержит подпоследовательность

.

Кроме того,последовательность содержит стационарную подпоследовательность

.

Итак, последовательность содержит две подпоследовательности, которые сходятся к разным пределам. Из первого утверждения следствия к свойству 3 следует, что последовательность расходится.

5.3. Найти предел последовательности .

Решение. Последовательность является подпоследовательностью последовательности , так как . Из 3-го утверждения в § 2.5 и следует, что .

5.4. Найти предел последовательности

.

Решение. Данная последовательность является объединением двух подпоследовательностей, состоящих из четных и нечетных членов. Предел каждой из этих подпоследовательностей равен нулю. Из свойства 4 вытекает, что предел последовательности равен нулю.

5.5. Доказать, используя второе утверждение теоремы 2.5, что , если .

Решение. При любом имеем цепочку равносильных утверждений:

.

Теперь из второго утверждения теоремы 2.1 и второго утверждения теоремы 2.5 следует, что .

Замечание. Далее необходимо помнить следующие пределы

, число; ; , если ;

, если ; . ▲

Задачи

5.1. Доказать, используя второе утверждение теоремы 2.5, что :

a) , ; б) , ; в) , .

5.2. Найти предел последовательности

а) ; б) ; в) ; г) , .

5.3. Доказать расходимость последовательности

а) ; б) .

5.4. Доказать, что монотонная последовательность сходится, если сходится какая-нибудь ее подпоследовательность.

§ 2.6. Действия со сходящимися последовательностями

Теорема 2.6. Если последовательности и имеют предел, то последовательность имеет предел и

.

Доказательство. Пусть , и произвольное задано. Далее имеем: .

Согласно условию 2 теоремы 2.5 неравенство справедливо при всех , а неравенство справедливо при всех . Обозначим через . Тогда при всех неравенство

справедливо. Отсюда и из замечания к теореме 2.5 следует, что . ■

Пример

6.1. Найти предел последовательности .

Решение. Используя теорему 2.6, имеем:

. ●

6.2. Найти предел последовательности .

Решение. По теореме 2.6 имеем:

.●

Теорема 2.7. Если последовательности и имеют предел, то последовательность имеет предел и

.

Доказательство. Пусть , и произвольное задано. Так как последовательность имеет предел, то она ограничена, поэтому при любом . Далее имеем:

.

Согласно теореме 2.5 неравенство справедливо при всех , а неравенство справедливо при всех . Если , то при всех имеем:

.

Из замечания к теореме 2.5 следует, что . ■

Следствие 1. Если последовательность имеет предел и — число, то последовательность имеет предел и .

Доказательство. Последовательность , где — стационарная последовательность. Теперь утверждение следствия вытекает из теоремы 2.7. ■

Следствие 2. Если последовательность имеет предел, то

.

Доказательство. Имеем следующую цепочку равенств: .■

Теорема 2.8. Если последовательность имеет предел, равный , то .

Доказательство. 1. Из следствия к теореме 7: если , то . Из условия и следствия к теореме 5 получаем: при всех . Тогда при всех верно , где .

Теперь имеем цепочку: .

Так как по условию , то согласно условию 2 теоремы 5 неравенство справедливо при всех . Теперь при всех имеем:

.

Из замечания к теореме 2.5 следует, что . ■

Теорема 2.9. Если последовательности и имеют предел и , то последовательность имеет предел и

.

Доказательство. Используя теоремы 2.7 и 2.8, имеем:

. ■

Замечание 1. При вычислении предела суммы, произведения или частного двух последовательностей очень часто нельзя сразу применить теоремы 2.6, 2.7 или 2.9, потому что слагаемые, сомножители или числитель и знаменатель дроби, не имеют предела. В этом случае надо так тождественными преобразованиями изменить сумму, произведение или частное, чтобы получилось выражение, к которому уже можно было бы применить теоремы 2.6, 2.7 или 2.9. ▲

Замечание 2. .

Так как предел последовательности равен , и

, ,

то из теоремы 2.10 следует равенство . ▲