Перемножение рядов

Пусть даны два ряда

(ряд А) и

(ряд В).

Как определить произведение этих рядов?

Рассмотрим бесконечную матрицу

,

составленную из всевозможных произведений вида . Нам надо сложить все элементы этой матрицы. Как это сделать? Моно, например, по диагоналям складывать

, (*)

а можно и так

,

можно еще тысячами разных способов. Но где гарантия, что все эти ряды имеют одну и ту же сумму?

Теорема Коши. Если ряды (А) и (В) сходятся абсолютно, то их произведение, составленное из слагаемых вида , взятых в любом порядке, также сходится и имеет своей суммой .

Доказательство.

Рассмотрим ряд вида

в которое входят все комбинации типа , и рассмотрим его частную сумму

.

Пусть . Тогда

,

где , . Следовательно, ряд сходится. В силу этого ряд сходится абсолютно и поэтому его слагаемые можно располагать в любом порядке. Беря частные суммы ряда С в виде

и поэтому . <

на практике чаще всего суммируют по диагоналям бесконечной матрицы, как в (*).