Признак сходимости Больцано-Коши

Для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы

.

Доказательство.

Сходимость ряда , по определению, означает существование конечного предела его частных сумм . Но, по признаку Больцано-Коши для последовательности, для существования такого предела необходимо и достаточно, чтобы

.

Но легко видеть, что , что и дает доказываемый признак. <

Следствие. Если сходится ряд , то сходится и ряд .

Доказательство. В приводимой ниже цепочке следований два раза идет ссылка на признак сходимости Больцано-Коши

Ряд сходится Þ по признаку Больцано-Коши

.

Но тогда

< Þ

по тому же признаку ряд сходится. <

Определение. Если ряд сходится, то ряд называется абсолютно сходящимся рядом. Если ряд сходится, но , то ряд называется неабсолютно сходящимся рядом.

Пример неабсолютно сходящегося ряда.

Таким рядом является, например, ряд

,

который сходится по признаку Лейбница. Но ряд, составленный из модулей

расходится, как гармонический ряд с s = 1.

Признак Больцано-Коши не является рабочим признаком, но на его основе строятся рабочие признаки. Но, прежде, чем переходить к их изложению, рассмотрим один вспомогательный вопрос.