![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть
1. Все частные суммы ряда ограничены, то есть
;
2. .
Тогда ряд сходится.
Доказательство.
1. Согласно первому ограничению мы имеем
Пусть
.
Тогда .
2. Þ
.
3. Считая, что ,
, а также, что
и
используем преобразование Абеля. Получаем (вначале особых пояснений не требуется):
(делаем преобразование Абеля)
И тут наступает самый тонкий момент вывода. Вспомним, что, согласно ограничению 2, монотонно убывают. Поэтому все разности вида
отрицательны, то есть
. В силу этого
,
и, продолжая прерванный вывод, получим:
.
Но e сколь угодно мало. Поэтому, со ссылкой на признак сходимости Больцано-Коши, можно утверждать, что ряд сходится. <
Следствие. Если , то сходятся ряды
(при
) и
(при любых х).
Доказательство.
Пусть . Начнем с известной со школы формулы
.
Имеем
k = 1: ;
k = 2: ;
k = 3: ;
……………..
k = n: .
Складывая все эти равенства, получим:
.
Теперь мы имеем очень интересную формулу
.
Но тогда
,
если , то есть, если
. По признаку Дирихле, при
ряд
сходится.
Для ряда все выкладки совершенно аналогичны, надо только начинать с формулы
.
Условие можно убрать, так как при
и сумма ряда просто равна нулю.
Признак Абеля. Если ряд сходится (не обязательно абсолютно!), а последовательность чисел
монотонна и ограничена, то ряд
сходится.
Доказательство.
1. Ряд сходится Þ по признаку Больцано-Коши
.
2. Последовательность чисел ограничена Þ
.
3. Дальнейшие выкладки сначала полностью повторяют признак Больцано-Коши
(делаем преобразование Абеля)
С этого момента начинаются отличия. Если раньше действовала оценка , то теперь будет оценка
:
В этом месте - самый тонкий момент. Согласно ограничению, последовательность чисел монотонна Þ все разности
одного знака, или все положительные, или все отрицательные. Поэтому можно записать
.
Поэтому, продолжая доказательство, можно записать:
.
Заключительная фраза та же самая: e сколь угодно мало. Поэтому, со ссылкой на признак сходимости Больцано-Коши, можно утверждать, что ряд сходится. <
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 278 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!