Теорема. Если из трех рядов

, ,

то сходятся и два остальные и верно равенство

= = .

Доказательство.

1. Пусть . Тогда очевидно, что . Но монотонно возрастает с ростом п, и, в силу ограниченности сверху, существует конечный предел .

Но также монотонно возрастает с ростом т, и также ограничена сверху. Поэтому существует и повторный предел

и ряд сходится. Совершенно аналогично показывается сходимость ряда .

2. Пусть теперь . Тогда . Но монотонно возрастают с ростом п и т, и, в силу ограниченности сверху, существует двойной предел .

3. Сравнивая полученные неравенства легко получить, что суммы всех этих трех рядов равны между собой

= = .

Но тогда ряды

, , .

Сходятся абсолютно, и, в силу этого, в них можно произвольно переставлять слагаемые, их суммы от этого не изменятся. Поэтому

= = . <