глобальных экстремумов

В этом пункте будет изложен метод Лагранжа для отыскания глобальных экстремумов функции на множестве

,

где непрерывны на всем пространстве , функции и при

любом дифференцируемы на множестве , .

Метод множителей Лагранжа состоит в том, что вводится вспомогательная функция

,

которая называется функцией Лагранжа, а неизвестные — множители Лагранжа. Отыскание глобального экстремума функции сводится к нахождению критических точек функции Лагранжа.

Теорема 8.10. Если — глобальный экстремум функции на множестве , то найдется такой ненулевой набор чисел , что точка является решением системы уравнений

(4)

Доказательство. Из теоремы 8.10 следует, что система векторов

, ,…, , , , (5)

линейно зависима, где . Следовательно, найдется такой ненулевой набор чисел , что равенство

(6)

является истиной.

Полагая при всех , разложение (6) перепишем в виде

(7)

Из равенства (7) следует, что -я координата вектора, находящегося в левой части равенства (7) равна нулю при любом . Так как -я координата линейной комбинации векторов равна сумме их -х координат, то из равенства (7) имеем

, . (8)

Левая часть равенства (8) равна частной производной функции Лагранжа по переменной в точке , поэтому из равенства (7) следует

, . (9)

Второе уравнение системы (4) в точке имеет вид

. (10)

Последнее равенство является истиной: , если , если же , то . Итак, равенство (10) справедливо при любом .

Из равенств (9) и (10) следует, что точка является решением системы уравнений (4) и числа образуют ненулевой набор. ■

Замечание. Теорема 8.10 справедлива также и тогда, когда функция определена на множестве

.

В этом случае функция Лагранжа имеет вид:

. ▲

Из теоремы 8.10 вытекает следующий алгоритм отыскания глобальных экстремумов функции на множестве .

1. Доказать, что функция на множестве имеет глобальный экстремум.

2. Преобразовать неравенства, задающие множества к виду .

3. Построить функцию Лагранжа и систему уравнений (4).

4. Найти все решения системы уравнений (4), у которых значения неизвестных не все равны нулю.

5. Решения, системы (4), найденные в пункте 4, укоротить, отбросив значения неизвестных , и выбрать среди них те, которые принадлежат множеству .

6. Вычислить значения функции на решениях, отобранных в пункте 5. Решения, на которых принимает наибольшее и наименьшее значения являются точками глобального экстремума функции .

Примеры. Найти глобальные экстремумы функции на множестве .

1. , .

Решение. Так как множество замкнуто (теорема 4.9) и ограничено: , , то функция имеет глобальные экстремумы на множестве . Функция Лагранжа имеет вид

.

Напишем систему уравнений, решением которой являются глобальные экстремумы функции :

(11)

Если , то из первого уравнения системы (11), что . Следовательно, при система уравнений (11) не имеет решений, у которых значения неизвестных не равны нулю одновременно.

Если же , то систему (11) можно переписать в виде

(12)

Система уравнений (12) имеет два решения

, , .

Укороченная система решений имеет вид: , . Эти точки принадлежат множеству .

Так , , то — точка глобального минимума (максимума) и , .

2. , .

Решение. Множество замкнуто (теорема 4.9) и ограничено: , , . Следовательно, функция имеет глобальные экстремумы на множестве . Функция Лагранжа имеет вид

.

Напишем систему уравнений, решением которой являются глобальные экстремумы функции :

(13)

Если , то системa уравнений (13) имеет вид

, , , . (14)

Так как набор неизвестных , должен быть ненулевым, то . Значит, произвольное решение системы (14) имеет вид: . Укороченное решение не принадлежит множеству .

Если же , то введем новую переменную и перепишем систему уравнений (13) в виде

(15)

Если в системе уравнений (15) неизвестное , т.е. , то система примет вид

, , , . (16)

Произвольное решение системы (16) имеет вид: . Укороченная точка будет принадлежать множеству , если , т.е. если . Итак, при получили решения и системы (15), укороченные точки которых

,

принадлежат множеству .

В случае преобразуем систему уравнений (16), заменив первое уравнение разностью первого и третьего уравнений,

(17)

Система уравнений (17) имеет четыре типа решений

, , , .

Укороченные точки

, , ,

принадлежат множеству .

Найдем значения функции на точках , , , , и :

, , .

Итак, точки и — точки глобального минимума функции, а точки и — точки глобального максимума функции. Значение глобальных экстремумов функции равны: , . ●

Задачи

Найти точки глобального экстремума функции на множестве .

1. , .

2. , .

3. , .

4. , .

5. , .

6. , .

7. , .

Ответы

1. , .

2. , .

3. , .

4. , .

5. , .

6. , .

7. , .