Решение. 1.Функция определена при всех значениях

2. Точки является точкой разрыва. Так как

; ,

то является точкой разрыва 2-го рода, а прямая — вертикальная асимптота. Найдем наклонные асимптоты:

;

.

Отсюда следует, что прямая является наклонной асимптотой графика функции при и при .

3. Найдем критические точки функции. Для этого вычислим производную данной функции:

Рис. 8.5 Рис. 8.6

.

Точки , и являются критическими точками функции. Знаки производной:

на множестве ; на этом множестве функция возрастает;

на множестве ; на этом множестве функция убывает.

Точка является точкой максимума, а — точка минимума. Найдем значения функции в экстремальных точках: , .

4. Вычислим вторую производную функции:

.

Точка является единственной критической точкой 2-го рода. Знаки второй производной:

на множестве — функция выпукла вверх,

на множестве — функция выпукла вниз.

На графике функции точек перегиба нет.

5. Построение графика функции следует начинать с построения асимптот и точек экстремума, указывая на графике характер экстремума («бугорок» или «впадина»). Далее отметим на графике поведение функции около наклонной асимптоты при и около вертикальной асимптоты при .

Учитывая результаты проведенного анализа в пунктах 3 и 4, соединим плавной кривой уже построенные участки графика функции (рис 8.5).

11. Построить график функции .