Необходимое условие глобального экстремума

Лемма. Система уравнений , , имеет решения при любых значениях , если векторы линейно независимы.

Доказательство леммы приводится в приложении 3. ■

Следствие. Если система векторов линейно независима, то найдется такой вектор , что

(). (1)

Доказательство. Из леммы следует, что система уравнений

()

имеет решение , которое удовлетворяет условию (1). ■

Теорема 8.10 (необходимое условие глобального экстремума функции). Функция определена на множестве

, .

Функции и при любом дифференцируемы в точке глобального экстремума функции ,. Тогда система векторов

, ; ,

где , линейно зависима.

Доказательство от противного, т.е. пусть система векторов

, ;

линейно независима. Из следствия к лемме следует, что найдется такой вектор , что

, , (, , ).

Так как мерный вектор удовлетворяет условию

,

то из свойства градиента следует, что можно построить такое число , что при всех

. (2)

Так как мерный вектор удовлетворяет условию

, , (, ),

то можно построить такое число (теорема 6.9), что при всех точка

(3)

Обозначим символом . Тогда при всех условия (2) и (3) справедливы, что противоречит определению глобального экстремума. ■