Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Исследование поведения функции в окрестности точки проведем, используя формулу Тейлора в форме Пеано (теорема 7.1):
, (1)
где , , .
Второй дифференциал
(2)
функции в точке является квадратичной функцией от переменных , , а числа — коэффициенты этой квадратичной функции.
Квадратичная функция называется положительно (отрицательно) определенной, если значение этой функции при любых значениях приращений , одновременно не равных нулю, положительно (отрицательно). Знакопостоянной будем называть квадратичную функцию, которая является положительно или отрицательно определенной. Знакопеременной называется квадратичная функция, которая принимает как положительные, так и отрицательные значения.
Лемма 1. Если функция является знакопостоянной и
, то найдется такое число , что знак выражения
(3)
совпадает со знаком функции , если .
Доказательство. Перепишем формулу (2) в виде
.
Так как
,
то точка при любых значениях ,…, ,…, , одновременно не равных нулю, принадлежит сфере .
Квадратичная функция непрерывна при любых значениях
переменных, и значит, непрерывна на сфере, которая является замкнутым и ограниченным множеством (следствие из теоремы 4.9). Так как функция является знакоопределенной, то >0 в каждой точке сферы.
Из 2-й теоремы Вейерштрасса следует, что функция принимает свое наименьшее значение в некоторой точке сферы, которое больше нуля, т.е. . Отсюда следует, что
. (4)
Так как , то из теоремы 3.11 вытекает, что если , то найдется такое число , что неравенство будет справедливо, как только . Отсюда следует, что
.
Следовательно, знак выражения совпадает со знаком , как только . ■
Лемма 2. Точка , , принадлежит окрестности тогда и только тогда, когда .
Доказательство вытекает из следующей цепочки равносильных утверждений:
. ■
Теорема 8.8 (достаточное условие экстремума). Функция в окрестности критической точки имеет непрерывные частные производные 2-го порядка. Справедливы следующие утверждения:
1. Если функция положительно определена, то — точка локального минимума функции .
2. Если функция отрицательно определена, то — точка локального максимума функции .
Доказательство. Градиент функции в точке равен нулю, так
как является критической точкой этой функции. В этом случае формула (1) будет иметь вид
.
Из леммы 1 и 2 следует, что найдется такая окрестность , в которой знак приращения функции совпадает со знаком второго дифференциала в точке этой функции.
1. Если функция положительно определена, то в окрестности точки , т.е. в этой окрестности, значит, — точка локального минимума функции .
2. Если функция отрицательно определена, то в окрестности точки , т.е. в этой окрестности, значит, — точка локального максимума функции . ■
Ниже докажем, что если функция является знакопеременной, то не является точкой локального экстремума. При доказательстве этого утверждения необходимо будет иметь явную зависимость от вектора приращений . Для этого введем обозначение
.
Тогда приращение функции в критической точке будет иметь вид
, , .
Лемма 3. Справедливы следующие утверждения, где .
1. Для любого числа верно, что .
2. Если , , и , то найдется такое число , что неравенство
, .
будет справедливо, как только .
Доказательство
1. .
2. Так как , то . Используя 1-е утверждение леммы 3, получим
.
Отсюда и из 1-го утверждения леммы 1 следует 2-е утверждение леммы 3. ■
Теорема 8.9. Если функция является знакопеременной, то не является точкой локального экстремума.
Доказательство. Допустим противное, т.е. пусть является точкой локального экстремума функции . Тогда из определения локального максимума (минимума) следует, что найдется окрестность точки , в каждой точки которой выполняется неравенство .
Так как функция является знакопеременной, то существует такой вектор приращений , что .
Рассмотрим вектор приращений , . Из леммы 3 следует, что
найдется такое число , что если , то справедливо неравенство
. (5)
Обозначим символом . Тогда .
Если , то . Отсюда получаем, что выполняется неравенство (5), и, значит, справедливо неравенство
. (6)
Если , то . Теперь из леммы 2 вытекает, что точка , , принадлежит окрестности .
Из неравенства (6) следует , и . Значит, точка не является точкой локального максимума (минимума) функции в окрестности , что противоречит сделанному предположению. ■
Пусть функция имеет непрерывные производные второго порядка в окрестности точки . Тогда из теоремы о смешанных производных 7.1 следует, что при любых значениях и от до . Если ввести обозначения: , , то второй дифференциал будет иметь вид
, . (7)
Квадратичная функция (7) называется квадратичной формой.
Знакоопределенность и знакопеременность квадратичной формы можно установить при помощи приведения квадратичной формы к сумме квадратов. Каждая квадратичная форма может быть методом выделения полных квадратов приведена к виду (приложение 3)
. (8)
Справедливы следующие утверждения:
1. квадратичная форма (7) положительно определена тогда и только тогда, когда все коэффициенты в равенстве (8) положительны, т.е.
, , …, .
2. квадратичная форма (7) отрицательно определена тогда и только тогда, когда все коэффициенты в равенстве (8) отрицательны, т.е.
, , …, .
3. квадратичная форма является знакопеременной тогда и только тогда, когда среди коэффициентов в равенстве (8) имеется хотя бы два коэффициента разных знаков.
В качестве примера рассмотрим приведение к сумме квадратов второго дифференциала функции , имеющей непрерывные вторые производные. В этом случае процесс приведения к сумме квадратов имеет вид (:
. (9)
Отсюда следует, что если
(10)
то квадратичная форма положительно определена и, значит, в точке
функция имеет локальный минимум, а если
(11)
то квадратичная форма отрицательно определена и, значит, в точке
функция имеет локальный максимум.
Если же выполняется условие
, (12)
то знаки коэффициентов при квадратах в выражении (8) будут разными, каков бы ни был знак числа . Следовательно, если выполняется условие (12), то квадратичная форма будет знакопеременной и в точке функция не имеет локального экстремума.
Критерий Сильвестра. Установить знакоопределенность квадратичной формы можно также при помощи критерия Сильвестра: квадратичная форма
, ,
а) положительно определена тогда и только тогда, когда
, , ,…, ;
б) отрицательно определена тогда и только тогда, когда
, , ,…, ,
в) является знакопеременной, если
.
Примеры. Исследовать на экстремум функции.
3. .
4. .
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 204 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!