Примеры. 1. Найти глобальный экстремум функции на множестве

1. Найти глобальный экстремум функции на множестве .

Решение. Множество является ограниченным, так и . Из теоремы 4.9. вытекает, что является замкнутым множеством. Следовательно функция на множестве имеет глобальный минимум и максимум. Множество представляет собой треугольник, ограниченный осями координат и прямой (рис. 8.7).

Рис.8.7.

Найдем критические точки функции . Так как

, ,

то функция имеет единственную критическую точку , которая принадлежит множеству .

Исследуем функцию на отрезке , . Подставляя в выражение для функции, получим . Функция принимает наименьшее и наибольшее значение на концах отрезка и в критической точке . Отсюда следует, что на отрезке , функция принимает наименьшее и наибольшее значение только в точках

, и .

Исследуем функцию на отрезке , . Подставляя в выражение для функции, получим . Функция принимает наименьшее и наибольшее значение на концах отрезка и в критической точке . Отсюда следует, что на отрезке , функция принимает наименьшее и наибольшее значение только в точках

, и .

Исследуем функцию на отрезке , . Подставляя в выражение для функции, получим

.

Функция принимает наименьшее и наибольшее значение на концах отрезка и в критической точке . Отсюда следует, что на отрезке , функция принимает наименьшее и наибольшее значение только в точках

, и .

В таблице 8.1 приведены значения функции во всех найденных точках.

Таблица 8.1

Из таблицы 8.1 следует, что и — точки соответственно глобального минимума и максимума функция , и

, . ●

Задачи

Найти глобальные экстремумы функции на множестве .

1. , .

2. , .

3. , .

4. , .

5. , .

Ответы

1. , .

2. , .

3. , .

4. , .

5. , . ▲