Решение. 3. а). Находим критические точки функции, т.е

3. а). Находим критические точки функции, т.е. точки, в которых частные производные первого порядка равны нулю:

Решением этой системы является , , поэтому точка — единственна критическая точка функции.

б). Вычислим вторые производные функции в точке :

, , .

Значения вторых производных не зависят от координат точки .

в). Проверим выполнение достаточного условия для точки . Начнем с определения знака выражения :

. (13)

Так как , то из условий (13) и (10) следует, что в точке функция имеет локальный минимум.

4. а) Находим критические точки функции, т.е. точки, в которых частные производные первого порядка равны нулю:

Решением этой системы является тройка чисел , , , поэтому точка — единственна критическая точка функции.

б). Вычислим вторые производные функции в точке :

,, , , , , .

Значения вторых производных не зависят от координат точки .

в) Проверим выполнение достаточного условия для точек . Найдем знаки определителей (приложение 4):

, ,

.

Отсюда следует, что является отрицательно определенной квадратичной формой. Следовательно, в точке функция имеет локальный максимум. ●

Замечание. Непрерывная функция может иметь локальный экстремум в точках, в которых функция не дифференцируема. Например, точка — локальный минимум функции , но в этой точке функция не имеет частных производных. На рис. 3.2 приведен график этой функции. ▲

Задачи

Исследовать на экстремум функции.

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6.

7. . 8. .