Асимптоты графика функции. Асимптоты графика функции — это прямые

Асимптоты графика функции — это прямые. Различают вертикальные и наклонные асимптоты. Среди наклонных асимптот выделяют горизонтальные асимптоты.

Прямая , параллельная оси , называется вертикальной асимптотой графика функции , если один из пределов

,

или оба равны .

Если —вертикальная асимптотаграфика функции , то — точка разрыва функции 2-го рода. Например, график функции имеет вертикальную асимптоту , так как

, .

Прямая называется наклонной асимптотой графика функции , если или .

Теорема 8.7. Прямая тогда и только тогда является наклонной асимптотой графика функции при , когда существуют

конечные пределы

, (6)

(, ).

Необходимость вытекает из следующих цепочек равенств:

— асимптота

.

.

Достаточность. Пусть существуют конечные пределы (6). Тогда

.

Отсюда следует, что прямая является наклонной асимптотой графика функции при . Аналогично рассматривается случай при . ■

Если, хотя бы один из пределов (6) не существует, то график функции не имеет наклонной асимптоты при .

Замечание. Из определения наклонной асимптоты следует, что разность ординат точек графика функции и асимптоты (при одном и том же значении ) стремится к нулю при . Отсюда следует, что график функции неограниченно приближается к асимптоте при . ▲