![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть функция определена в окрестности точки
, т.е. определена на интервале
,
). Если в точке
функция принимает наибольшее (наименьшее) значение в окрестности
, то точку
называют точкой локального максимума (минимума). Эти точки называют также точками локального экстремума функции. Теперь из теоремы Ферма вытекает необходимый признак локального экстремума.
Теорема 8.2. Функция определена в окрестности
точки
, и в этой точке существует производная. Если
— точка локального экстремума функции, т.е. точка локального максимума или минимума, то
. ■
В точке локального экстремума функция может быть не дифференцируема. Примером такой функции может служить функция , которая в точке
имеет локальный минимум, но не дифференцируема в этой точке. Точки локального экстремума функции являются критическими, но обратное утверждение в общем случае неверно. Ниже будет доказана теорема, позволяющая установить, когда критическая точка функции является точкой локального экстремума.
Лемма. Функция непрерывна на интервале
и на этом интервале имеет производную, кроме точки
. Тогда справедливы утверждения.
1. Если
на
, то
при любом
.
2. Если
на
, то
при любом
.
Доказательство 1. Возьмем произвольную точку и
. Используя лемму Ферма, получим цепочку импликаций:
,
.
2. Возьмем произвольное число и
. Используя лемму Ферма, получим цепочку импликаций:
,
. ■
Теорема 8.3 (достаточное условие локального экстремума). Функция непрерывна на интервале
и на этом интервале имеет производную, кроме точки
. Тогда справедливы утверждения.
1. Если на интервале
и
на интервале
, то точка
— точка локального минимума функции
.
2. Если на интервале
и
на интервале
, то точка
— точка локального максимума функции
.
3. Если или
на интервале
, то точка
не является точкой локального экстремума функции
.
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 441 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!