Доказательство. 1.Рассмотрим две произвольных точки и из интервала и пусть

1. Рассмотрим две произвольных точки и из интервала и пусть . Так как на отрезке выполняются условия теоремы Лагранжа, то найдется такая точка , что справедливо равенство

. (1)

Из условия теоремы и равенства (1) следует цепочка импликаций:

на интервале

возрастает (убывает) на интервале .

2. Необходимость. Если на интервале , то из формулы (1) следуют цепочки импликаций:

на интервале

не убывает (не возрастает) на интервале .

Достаточность. Пусть теперь не убывает (не возрастает) на интервале . Отсюда, если — произвольная точка интервала и , то

.

Так как функция дифференцируема в точке , то

. ■

Критическими точками функции называют точки, в которых производная функции равна нулю или не существует. Критические точки функции разбивают область определения функции на интервалы. В каждом таком интервале производная сохраняет свой знак (теорема Дарбу), а функция строго монотонна (теорема 8.1).

Примеры. Найти интервалы убывания и возрастания функции :

1. . 2. .