Числовые и функциональные ряды

3.1. Числовые ряды: основные определения

Пусть задана бесконечная последовательность чисел (действительных или комплексных)

Определение. Числовым рядом называется выражение вида

(1)

Ряд обозначается: . Числа называются членами ряда. Ряд (1) задан, если известен его общий член , т.е. указано правило, по которому каждому номеру ставится в соответствие определённое значение функции .

Определение. Сумма конечного числа первых членов числового ряда называется - й частичной суммой, т.е.

.

Рассмотрим последовательность частичных сумм числового ряда

Определение. Если существует конечный предел последовательности частичных сумм, равный , то ряд называется сходящимся, а называется его суммой:

.

Если предел последовательности не существует или равен бесконечности, то ряд называется расходящимся.

Определение. Если в ряде (1) отбросить первые членов, то получится ряд:

,

называемый остатком ряда (1).