Доказательство. 1) В рассматриваемом случае совпадает с подпространством решений однородной системы линейных уравнений (теорема 2.10)

1) В рассматриваемом случае совпадает с подпространством решений однородной системы линейных уравнений (теорема 2.10). Размерность этого подпространства равна .

2) Направляющим подпространством аффинной оболочки является подпространство (теорема 2.11). Следовательно,

= = = .

3) Из теоремы 2.12 вытекает, что направляющим подпространством аффинного множества является подпространство а поэтому

■

Введенное определение размерности аффинного множества позволяет доказать еще одну полезную теорему о совпадении двух аффинных множеств.

□ Теорема 2.14. Аффинные множества и совпадают тогда и только тогда, когда и dim = dim .

Доказательство. Используя первое и второе утверждения теоремы 2.9 и теорему 1.9,имеем цепочку следующих равносильных утверждений:

= , , dim =dim

, dim = dim .■

Задачи

1.Выяснить, совпадает ли аффинное множество решений системы линейных уравнений,

,

с аффинной оболочкой точек , , , .

2.Даны два аффинных множества и . Доказать следующие утверждения:

а) , если A = , i= 1 ,…,k;

б) A = , i= 1 ,…,k и где – число неизвестных в системе уравнений , – ранг матрицы .

3.Доказать, что если аффинное множество имеет размерность 1 , то оно содержит аффинное множество, размерность которого равна

4.Даны точки , , . Задать аффинное множество, которое содержит эти точки и размерность которого равна а) двум; б) трём.

5.Найти необходимое и достаточное условие, чтобы точки содержались в - мерном аффинном множестве.

6. Даны аффинные множества и , размерности которых равны соответственно и . Доказать, что можно построить аффинное множество , которое содержит и , и

,

= k+l+ 1, если и не имеют общих точек и .