Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
а) Заметим, что линейно независимые векторы. Теперь выясним, принадлежит ли точка аффинному множеству . Точка будет принадлежать множеству , если векторное уравнение
имеет решение или, на другом языке, вектор разлагается по векторам .Проверка показывает, что вектор не разлагается по векторам . Отсюда следует, что точка и что , линейно независимая система векторов.
Полагаем . Множество является аффинным, содержит точку , , множество , имеет размерность, равную трем (теорема 2.13), и уравнение
является параметрическим уравнением множества .
б) Вектор не разлагается по линейно независимой системе векторов , а поэтому линейно независимые векторы. Пусть , т.е. множество решений уравнения
. (4)
Аффинное множество содержит множество , имеет размерность, равную трем (теорема 2.13), вектор параллелен множеству (теорема 2.12). Уравнение (4) параметрическое уравнение множества .●
Задачи
1. Доказать, что уравнение будет параметрическим уравнением аффинного множества тогда и только тогда, когда точка и базис подпространства .
2..Дано аффинное множество , которое содержит точку (2,3,1,1) и направляющее подпространство которого задается системой уравнений:
Найти параметрическое уравнение аффинного множества .
3.Аффинное множество совпадает с множеством решений системы линейных уравнений
Написать параметрическое уравнение аффинного множества .
4. Написать параметрическое уравнение аффинного множества, которое содержит точки и имеет размерность, равную двум.
5. Аффинное множество задано системой уравнений
Напишите параметрическое уравнения аффинного множества , которое содержит множество , имеет размерность три и
а) содержит точку М (1,2,−3,4,0);
б) вектор = (1,−2,5,−1,3) параллелен множеству .
6. Доказать, что если уравнение аффинного множества , то общее решение системы уравнений в векторной форме параметрическое уравнение множества .
2. Общее уравнение аффинного множествав пространстве
□Теорема 2.16. Дано аффинное множество размерности . Тогда справедливо следующее утверждение. Система уравнений
(5)
является уравнением аффинного множества тогда и только тогда, когда множество проходит через точку перпендикулярно линейно независимым векторам .
Необходимость. Дано, что система уравнений (5) уравнение аффинного множества , т.е. множество является множеством решенийсистемы (5).
Так как после подстановки точки в систему (5) вместо вектора получим верные числовые равенства, то точка решение системы уравнений (5) и, значит, .
Докажем, что векторы линейно независимые и перпендикулярны аффинному множеству . Направляющее подпространство задается системой уравнений (теорема 2.10)
Теперь из теоремы 1.24 вытекает, что подпространство . По условию, . Следовательно, (теорема 1.23). Отсюда векторы образуют базис подпространства (теорема 1.8) и, значит, линейно независимы и перпендикулярны аффинному множеству .
Достаточность. Дано, аффинное множество проходит через точку перпендикулярно линейно независимым векторам . Надо доказать, что множество решений системы уравнений (5). Обозначим множество решений системы уравнений (5) и докажем, что . Для этого установим, что общая точка множеств и , и направляющие подпространства этих аффинных множеств совпадают.
Точка является решением системы уравнений (5) и, значит, . Векторы перпендикулярны множеству , а поэтому принадлежат подпространству . Так как
и векторы линейно независимы, то система векторов образует базис подпространства (теорема 1.8) и, значит, . Теперь из теорем 1.22 и 1.23 следует
Далее, из теоремы 2.10 вытекает
Итак, направляющие подпространства аффинных множеств и совпадают. Из теоремы 2.14 вытекает совпадение множеств и .■
Система уравнений (5), где линейно независимые векторы, называется общим уравнением аффинного множества размерности .
◊Замечание. В общем уравнении аффинного множества размерности линейно независимые векторы образуют базис подпространства .
Действительно, так как , то из теоремы 1.8 следует, что базис подпространства .♦
Приведем алгоритм построения общего решения аффинного множества .
1.Задать аффинное множество .
2.Найти точку и базис подпространства .
3.Написать общее уравнение аффинного множества :
Пример
Аффинное множество задано параметрическим уравнением:
Напишите общее уравнение множества .
Решение. Чтобы написать общее уравнение множества достаточно знать координаты точки, принадлежащей , и базис подпространства . Запишем параметрическое уравнение в векторной форме
,
где точка принадлежит и векторы , базис направляющего подпространства . Следовательно, подпространство задается системой уравнений
Векторы
, ,
образуют фундаментальный набор решений однородной системы уравнений, т.е. образуют базис подпространства . Теперь система уравнений
(6)
является общим уравнением множества . Так как
, ,
то система уравнений (6) в координатной форме имеет вид
●
Задачи
1. Если уравнение аффинного множество , то общим уравнением этого множества является общее решение системы линейных уравнений полученное методом Гаусса.
2. Напишите общее уравнение аффинного множества , которое содержит точку (1,2,−1,−2.1) и направляющее подпространство которого совпадает с множеством решений системы уравнений
3.Дано аффинное множество , где
(2,1,2,1), =(1,1,−1,1), =(2,1,−1,3), =(0,−1,1,1).
Напишите общее уравнение множества .
4. Аффинное множество задано системой уравнений
.
Напишите общее уравнение аффинного множества , которое содержит множество , имеет размерность четыре и
а) содержит точку (2, - 5,3,1,4);
б) вектор параллелен множеству .
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 270 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!