Уравнение фигуры

Геометрической фигурой или просто фигурой в пространстве будем называть множество точек этого пространства. Задать фигуру –значит указать, из каких точек пространства она состоит. Примером фигуры является аффинное множество. Одним из способов задания фигуры в пространстве является ее задание при помощи уравнения с n неизвестными. Произвольное уравнение с n неизвестными будем записывать в виде .

Уравнение называется уравнением фигуры Ф при выполнении следующих двух условий:

1) если точка принадлежит фигуре Ф, то координаты точки М являются решением уравнения , т.е. – верное числовое равенство;

2) если же чисел являются решением уравнения , то точка , координатами которой служат числа , принадлежит фигуре Ф.

Это определение в более компактной форме выглядит следующим образом. Уравнение называется уравнением фигуры , если

решение уравнения .

Из определения уравнения фигуры следует, что фигура состоит только из тех точек пространства , координаты которых являются решениями уравнения , т.е. Ф является множеством решений уравнения и, значит, уравнение фигуры задает эту фигуру. Отсюда следует, что если уравнение некоторой фигуры, то равносильное ему уравнение также будет уравнением той же самой фигуры.

В дальнейшем будет дана фигура , и надо будет найти уравнение этой фигуры. Для решения этой задачи, как следует из определения уравнения фигуры, достаточно

1) задать фигуру геометрически, т.е. сформулировать условие, которому удовлетворяют только точки фигуры (довольно часто определение фигуры содержит такое условие);

2) записать в координатах условие, сформулированное в первом пункте.