![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
2.1. N-мерное точечное пространство
Если на плоскости или в пространстве введена система координат, то каждая пара чисел задает точку на плоскости, а каждая тройка чисел – точку в пространстве. Более того, множество всех пар чисел можно отождествить с множеством всех точек плоскости, а множество
всех троек чисел – с множеством всех точек пространства, что позволяет следующим образом обобщить понятия точки, плоскости и пространства.
Произвольный упорядоченный набор из чисел
называется
- мерной точкой, а сами числа
– координатами этой точки. Совокупность всех
-мерных точек называется
- мерным точечным пространством
.
Если точка М пространства имеет координаты
, то будем писать
. Точка
называется началом координат.
Множество всех точек пространства , у которых все координаты, кроме k- ой, равны нулю, называется координатной осью
. Из этого определения следует, что ось
состоит из всех точек вида
, где
– произвольное действительное число. Отметим, что в пространстве
имеется n координатных осей:
.
Совокупность всех точек пространства , у которых k- я координата равна нулю, называется координатной гиперплоскостью
. Таким образом, гиперплоскость
состоит из точек вида
, где
независимо друг от друга пробегают все действительные числа. В пространстве
имеется n координатных гиперплоскостей: гиперплоскости
.
На плоскости и в трехмерном пространстве направленным отрезком называется отрезок, у которого отмечены начало и конец. Первой в обозначении направленного отрезка записывают точку, которая называется его началом, а второй – точку, являющуюся концом этого направленного отрезка. Таким образом, направленный отрезок однозначно определяется упорядоченной парой точек, т.е. парой, в которой определено, какая из двух точек является первой, а какая – второй. Обобщим это определение направленного отрезка на случай пространства
.
Упорядоченная пара точек А,В пространства называется направленным отрезком, который по - прежнему обозначается через
. Точка А называется началом, а точка В – концом направленного отрезка
.
Определим координаты направленного отрезка следующим образом. Если ,
, то числа
, которые равны разностям координат конца и начала
, называются координатами направленного отрезка
. В этом случае будем писать
.
Если соответствующие координаты n- мерного вектора и направленного отрезка
совпадают, то будем говорить, что вектор
отложен от точки
пространства
, и писать
. Таким образом, чтобы отложить n- мерный вектор
от точки
, надо построить такую точку В, чтобы соответствующие координаты направленного отрезка
и вектора
совпадали.
Каждый n -мерный вектор можно отложить от любой точки
пространства
. Действительно, обозначим
точку с координатами
. Тогда
.
Полагаем , если их соответствующие координаты равны. Сложение направленных отрезков и умножение их на число осуществляется по правилам, сформулированным для n -мерных векторов. Направленный отрезок часто называют вектором.
Вектор называется радиус-вектором точки
. Ясно, что координаты точки
и радиус-вектора
этой точки совпадают. Вместо вектора
будем писать
. Так как координаты векторов
и
равны, то
.
□ Теорема 2.1. Справедливы следующие утверждения, где – произвольные точки пространства
:
;
;
.
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 283 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!