R-методы

Методы генерирования произвольно распределенных случайных чисел с требуемыми динамическими свойствами носят название R -методов.

Произвольность распределения случайных чисел позволяет ис­пользовать в качестве исходных стандартные нормальные случайные числа. При этом выходные последовательности чисел, как правило, имеют нормальное распределение. Значение этого факта возрастает в связи со следующими обстоятельствами [12]:

- нормальные случайные процессы играют важную роль в приложениях и однозначно задаются матрицей корреляционных моментов;

- негауссовские случайные процессы часто появляются в резуль­тате некоторых известных преобразований гауссовских случайных процессов (так называемые квазинормальные случайные процессы) и их моделирование сводится к воспроизведению гауссовского случайного процесса с необходимыми вероятностно-статистическими свойст­вами и его преобразованию по известным алгоритмам;

- многомерные законы распределения вероятностей случайных процессов, не являющихся нормальными или квазинормальными, весьма трудно получить теоретически и экспериментально, в то время как корреляционные моменты определяются значительно проще.

Метод линейных преобразований. Он состоит в линейном преобразовании A исходных N чисел η с извест­ными вероятностными свойствами, после чего полученные величины ξ должны иметь наперед заданную корреляционную матрицу

║R_ξ║=║R_mn║, n,m=1,2,…,n

Пусть дано N независимых случайных чисел с нулевым матема­тическим ожиданием и единичной дисперсией η(1), η (2),…, η (N)

M[η ]=0, σ[η ]=1, M[η (n), η (m)]= δ_nm=

Известно, что произвольное линейное преобразование A N-мерного вектора η сводится к умножению его на некоторую матрицу N-го порядка ║ξ║=║A║∙║η║, где ║η║=║ η(n)║, n=1,2, …,N и ║ξ║=║ξ(n)║, n=1,2,…,N - матрицы-столбцы с элементами η(1),…,η(N) и ξ(1),…,ξ(N) соответственно и ║A║=║a_nm║, n=1,2,…,N, m=1,2,…,N - квадратная матрица преобразований.

Выберем матрицу A треугольной, тогда

ξ(1) = a₁₁∙ η(1),

ξ(2) = a₂₁∙ η(1) + a₂₂∙ η(2),

... (4.7)

ξ(N) = a_N1∙ η(1) + a_N1∙ η(2) + … + a_NN∙ η(N).

Элементы матрицы ║A║ найдем из условий независимости исходных чисел и нулевого математического ожидания

M[η (n), η (m)]= δ_nm=

M[ξ(n),ξ (m)]= R_nm.

Из условий

M[ξ(1)ξ (1)]= a²₁₁=R₁₁;

M[ξ(1)ξ (2)]= a₁₁∙a₂₁=R₁₂;

M[ξ(2)ξ (2)]= a²₂₁+ a²₂₂=R₂₂;

получим

a₁₁= ; a₂₁=R₁₂ / ; a₂₂= . (4.8)

Действуя аналогично, можно найти последовательно все элемен­ты матрицы ║A║.Тогда алгоритм выработки реализаций случайного процесса с заданной корреляцией сведется к умножению реализации исходного независимого процесса η(t) на матрицу преобразований ║A║. Процесс ξ(t) будет иметь нулевое математическое ожидание

Пример 4.12. Пусть требуется построить матрицу преобразо­ваний ║A║, позволяющую методом линейных преобразований прогенерировать три элемента реализации случайного процесса с корреляцией, определяемой матрицей

║R_ξ║ =

и математическим ожиданием M[ξ]=5.

Решение 4.12. В соответствии с условием задачи матрица преобразований ║A║ имеет размерность 5 x 5, а ее элементы связаны с требуемыми корреляционными моментами известными из описания ме­тода и вновь полученными в дополнение к (4.8) формулами

Следовательно, с учетом нового математического ожидания

Используя таблицу стандартных нормальных случайных чисел (приложение 3), выберем три числа, например, из четвертой строки: η(1)=1,002; η(2)=0,555; η(3)=0,046. (Напомним, что нор­мальные стандартные случайные числа независимы и имеют в совокуп­ности нулевое математическое ожидание и единичное среднеквадратическое отклонение, что удовлетворяет условиям применения метода линейных преобразований).

Тогда

К достоинствам данного метода отнесем его легкую машинную реализацию, а к недостаткам - существенные затраты машинной памяти (матрица занимает 0,5·N·(n+1) слов) и значительные объемы вы­числений.

Метод канонических разложений. Пусть непрерывный центрированный случайный процесс ξ(t) задан каноническим разложением

(4.9)

где V_k - некоррелированные случайные коэффициенты с параметрами M[V_k]=0 и σ[V_k]=σ_k; φ_k(t) - система некоторых детерминированных координатных функций.

Из условия некоррелированности коэффициентов V_k следуетаналогичное каноническое разложение корреляционной функции слу­чайного процесса ξ(t):

Метод канонических разложений [12] осуществляется так: в процес­се формирования дискретных реализаций ξ(n) они вычисляются непосредственно по формуле (4.9). При этом в качестве V_k используется выбо­рочные значения некоррелированных случайных чисел с параметрами M[V_k]=0 и σ[V_k]=σ_k. Бесконечный ряд (4.9) при вычислениях приближенно заменяется усеченным конечным рядом.

Подготовительная работа состоит в выборе системы координат­ных функций φ_k(t) и в нахождении дисперсий σ², то есть в осу­ществлении непосредственно канонического разложения. Эти действия проводятся по рекуррентным формулам

(4.10)

Использование такого представления метода канонических раз­ложе­ний позволяет воспроизводить случайный процесс с корреляци­онной функцией, совпадающей с требуемой в заданных дискретных точ­ках t_k, k=1,2,…,N. В промежутках же между этими точками полу­чаемая корреляционная функция не совпадает с требуемой. Если диск­ретные точки выбрать так, что значения процесса в этих точках име­ют высокую корреляцию между собой, то совпадение корреляционных функций будет достаточно хорошим.

Пример 4.13. Используя метод канонических разложений, прогенерировать три элемента (N=3) реализации случайного процесса ξ(t) с корреляционной функцией

Решение 4.13. Используя рекуррентные формулы (4.10), полу­чаем

Используя случайные некоррелированные числа из предыдущего примера (η(1)=1,002; η(2)=0,555; η(3)=0,046) и получаемую из (4.9) формулу

(4.11)

имеем

Если моделируемый процесс является нормальным, то, положив распределение V_k также нормальным, можно воспроизводить дискрет­ные реализации нормальных случайных процессов, заданных на конечном интервале времени.

Достоинства и недостатки метода канонических разложений совпадают с методом линейных преобразований. Достаточно убедиться, что алгоритмы (4.7) и (4.11) в точности совпадают, то есть и т.д.

Метод скользящего суммирования. В отличие от ранее рассмотренных, данный R-метод позволяет воспро­изводить реализации случайного процесса неограниченной длины.

Пусть дана последовательность независимых случайных чисел η(t) с M[η]=0 и σ[η ]=1, при этом