РR – методы

Методы генерирования случайных чисел с требуемыми одномер­ным законом распределения вероятностей и динамическими свойства­ми носят название РR-методов. (При этом подразумеваются только такие пары "закон распределения - автокорреляционная функция", ко­торые имеют реальную физическую природу, то есть имеют место в жиз­ни, получены экспериментальным путем или обоснованы теоретически).

Пусть в качестве исходного выбран нормальный стационарный случайный процесс η₀(t). Известно, что всегда существует такое не­линейное преобразование ξ(t)=ψ[η₀(t)], которое переводит нор­мальную плотность f₀(x) распределения вероятностей процесса η₀(t) в заданную плотность f(y). При этом, если исходный процесс η₀(t) имеет корреляционную функцию R₀(τ), то преобразованный процесс ξ(t) будет иметь корреляционную функцию R₁(τ), отличающуюся от функции R₀(τ) и связанную с ней некоторой зависимостью R₁(τ)=φ[R₀(τ)].

Вид преобразования φ определяется преобразованием ψ. Для того, чтобы корреляционная функция процесса ξ(t) была требуемой, не­обходимо выбрать исходную корреляцию равной R₀(τ)=φ^-1[R₁(τ)], где φ^-1 - функция, обратная φ[R₀(τ)]; R(τ) - требуемая в процессе ξ(t) корреляционная функция.

Таким образом, для генерирования случайного процесса ξ(t) с одновременно требуемым законом распределения вероятностей и кор­реляционной функцией R(τ) посредством аналитического РR-метода необходимо:

- по плотности распределения f₀(x) исходного процесса η₀(t) отыскивать преобразование ξ(t)=ψ[η₀(t)], позволяющее получить требуемую плотность распределения f(y);

- по найденной функции ψ найти преобразование R₁(τ)=φ[R₀(τ)], описывающее преобразование исходной корреляции R₀(τ), в некоторую функцию R₁τ), не совпадающую с требуемойR(τ);

- отыскать решение уравнения R₁(τ)=φ^-1[R(τ)], то есть определить корреляционную функцию, которой должен обладать исходный случайный процесс η₀(t), чтобы после применения к нему преобразования ψ генерируемый процесс ξ(t) обладал требуемой корреляцией R(τ);

- определить алгоритм для генерирования исходного нормально­го процесса η₀(t) с корреляционной функцией R₀(τ);

- генерируется случайный процесс ξ(t).

Пример 4.15. Необходимо найти преобразования и определить свойства исходного случайного процесса η₀(t) для генерирования аналитическим РR-методом одномерного равномерного в интервале (-а, а) случайного процесса с корреляционной функцией .

Решение 4.15. Из литературных источников [12, стр.117] из­вестно, что для получения равномерного в интервале (-а, а) процес­са ξ(t) - из стандартного нормального η₀(t) необходимо использовать преобразование

(4.15)

где Φ(·) - функция Лапласа.

Преобразование, приводящее к процессу ξ(t), в замкнутом виде выражается через корреляционную функциюR₀(τ) исходного случайного процесса следующим образом:

Отсюда обратная функция φ^-1 имеет вид

(4.16)

Так как аргумент синуса изменяется в пределах (-p/6, p/6), замена синуса прямой линией внесет незначительные погрешности. Поэтому положим R₀(τ)=R(τ).

И тогда можно формировать реализации стационарного нормаль­ного стандартного процесса η₀(t) с корреляционными моментами R(τ), которые преобразованием вида (4.15) переводятся в реализацию процесса с желаемыми характеристиками.

Очевидны недостатки такого PR-метода, состоящие в сложнос­тяхпо отысканию преобразований ψ и φ. Не для каждого распределения и каждой корреляции можноих отыскать.

Другой подход к РR-генерированию состоит в использовании перестановочной технологии [43]. Данная технология основана на том, что динамические (корреляционные, спектральные и т.п.) свой­ства определяются не только значениями элементов реализации слу­чайного процесса, но и порядком следования элементов в реализа­ции. При этом одномерный закон распределения практически не изменяется. Ясно, что пара "Одномерный закон распределения вероятностей - Корреляционная функция" должна иметь физический и математический смысл.

Пусть η(0), η(1),… - реализация некоррелированного слу­чайного процесса с одномерным законом распределения вероятностей, которым должен обладать генерируемый случайный процесс ξ(t), t=0,1,…

Для реализации перестановочной процедуры необходимо положить ξ(0)=η(0) и образовать вектор

Сопоставление по правилу перестановок A вектора U(1) и ξ(0)

обеспечивает выбор одного из компонентов вектора U(1) в качест­ве нового элемента реализации генерируемого процесса ξ(1)=u_i(1).

Затем на место выбранного компонента вектора U(1) заносит­ся случайное число из исходной реализации, а остальные компоненты не изменяются

Процедура выбора компонента вектора U(t) повторяется, при­чем выбор проводится в зависимости от последнего прогене­ри­ро­ваного числа ξ(t-1). Вектор U(t) обновляется посредством за­писи на место выбранного компонента числа из исходной реализации.

Размерность вектора U(t) - n - носит название параметра упорядочения и чем больше n, тем сильнее вводимая корреляция, так как с увеличением размерности вектора увеличиваются возмож­ности более точного удовлетворения правила A. Само же правило A определяет форму генерируемой корреляционной функции. Если A - минимизация модуля первой разности, то вводимая корреляционная функ­ций имеет экспоненциально-косинусный вид (рис. 4.9), то есть может быть аппроксимирована выраже­нием

Если A - максимизация модуля пер­вой разности, то функция корреляции име­ет знакопеременный вид (рис. 4.10), то есть может быть аппроксимирована выра­жением

Очевидно, что правил перестановок A можно предложить весьма большее число и все они будут давать какие-то определенные (иногда, внешне весьма схожие) виды корреляционных функций. Главное здесь то, что каждое правило A воспроизводит свой природный меха­низм корреляции.

Пример 4.16. Используя пере­ста­но­воч­ный алгоритм с правилом миними­зации модуля первой разности, проге­нерировать пять случайных равномерно распределен­ных в интервале [0,9] чисел. Параметр упорядочения положить равным трем (n= 3).

Решение 4.16. Для генерирования потребуется семь цифр, имеющих равномерное распределение вероятностей, которые мы будем выбирать из первого столбца таблицы случайных цифр (приложение 2). Итак, мы выбрали числа: 1,3,0,9,1,6,3.

В соответствии с описанным выше алгоритмом

Реализуем правило перестановки, для чего находим модули первых разностей :

Ö

среди которых компонент u₂(1) дал минимальный модуль первой разности. Следовательно, ξ(1)=u₂(1)=0 и

Вновь произведем перестановку

Ö

Тогда ξ(2)=u₂(2)=1 и . На третьем шаге ξ(3)=u₁(3)=3 и . И, наконец, на четвертом шаге ξ(4)=u₄(4)=3. (Отметим, что, если в результате осуществления правила перестановки имеются несколько равноценных претен­дентов на выбор в качестве нового генерируемого числа, то отбор из этих претендентов проводится по произвольному правилу).

Итак, нами получена реализация равномерного случайного про­цесса ξ(0)=1, ξ(1)=0, ξ(2)=1, ξ(3)=3, ξ(4)=3, имеюще­го экспоненциально-косинусную корреляционную функции.

Основными недостатками перестановочных методов являются их приближенный характер, обусловленный невозможностью точного задания корреляционных свойств.

Выше нами рассматривались алгоритмы упорядочения, позволяющие моделировать случайные процессы с требуемым одномерным законом распределения вероятностей, а также с требуемой формой и приближенными значениями автокорреляционной функции. В том случае, когда исследователь имеет заданную аналитически или таблично автокорреляционную функцию, он вынужден обратиться к специальным таблицам для поиска соответствующих алгоритмов упорядочения. В [43] предлагается алгоритм замкнутого упорядочения, значительно упрощающий процедуру имитации: достаточно на вход алгоритма подавать некоррелированный случайный процесс с требуемым законом распределения вероятностей, но нулевым математическим ожиданием, и коэффициенты корреляции, которые должны быть в выходном процессе. Пpи этом используется алгоритм экстраполяции [22], который обеспечивает подбор ближайшего по модулю первой разности значения из вектора не к ранее пpогенеpиpованному значению y(t-1), а к прогнозному, полученному посредством экстраполяции.

Описанные алгоритмы значительно расширяют области возможных применений данного типа PR-методов, они просты в реализации и не зависят от вида закона распределения вероятностей. Вместе с тем, следует отметить, что реализация замкнутого алгоритма упорядочения требует существенных затрат машинного времени в сравнении с разомкнутыми алгоритмами, так как необходимо на каждом такте реализовывать прогноз. Поэтому использование такого генератора в моделировании несколько снижает его эффективность.

Пpиближенный характер алгоритмов упорядочения пpоявляется в неточности задания вероятностных свойств. Использование замкнутых алгоритмов или их дальнейшая модернизация могут привести к существенному повышению точности. Но здесь необходимо соизмерять затраты на использование алгоритмов упорядочения с затратами на использование аналитических методов. И, естественно, предпочтение следует отдать более точным аналитическим методам при прочих равных условиях.

Имитационное моделирование сложных систем и особенно техноло­ги­ческих процессов и автоматизированных систем управления требует соз­дания таких источников случайных процессов с требуемыми статическими и динамическими свойствами, которые позволяли бы воспроизводить корреляционные свойства случайных процессов, изменяющиеся в широких пределах. Пpи этом, без сохранения формы корреляционной функции, зна­чения корреляционных моментов (в терминах алгоритмов упорядочения) должны изменяться от значений, соответствующих n, до значений, соответствующих n+1. Это обусловлено тем, что, например, для таких элементов автоматизированных систем, как алгоритмы оперативного управления технологическим пpоцессом, динамические свойства случайных процессов могут быть заключены в некоторых пределах, определяемых значениями производственных параметров. Пpи этом, границы этих интервалов, очевидно, не всегда соответствуют n и n+1. Подобные источники более пригодны для имитации с точки зрения закона необходимого разнообразия кибернетики, так как чем шире наши возможности в генерировании случайных процессов с заданными статистическими свойствами, тем большее число различных ситуаций мы можем воспроизвести. Последнее заставляет нас расширять функциональные возможности пеpестановоч­ных процедур. Приведенный ниже алгоритм упорядочения со случайным параметром [30,32] позволяет снять ограничение, вызванное целочисленностью параметра упорядочения.

Пусть x(0),x(1),... - реализация некоррелированного случайного процесса с требуемым для воспроизведения одномерным законом распределения вероятностей и n_min и n_max - граничные значения параметра упорядочения.

Эта реализация порождает векторный случайный процесс U случайной размерности

U(t)={u₁(t),u₂(t),...,u_n(t)}, n(t)>1.

Величина n(t) (текущее значение параметра упорядочения) определяется как целочисленная случайная величина с законо м распределения вероятностей, ограниченным условием

P_n(x)=0, xÎ[n_min,n_max] (4.17)

во всем остальном оставаясь произвольным.

Один из компонентов вектора U для каждого целого t>0 превращается в элемент y(t) реализации случайного процесса Y(t) = u_k(t), где индекс k определяется упорядочивающим оператором

причем в начале каждого цикла упорядочения разыгрывается значение параметра упорядочения и принимается

u_j(t+1)=u_j(t), j¹ k,

u_k(t+1)=x(t+n(t+1)).

Алгоpитм дополняется начальными условиями

y(0)=x(0),

U(1)={x(1),x(2),...,x(n(1))}.

Данный алгоритм является обобщением вышеописанных разомкнутых алгоритмов: если в этих алгоритмах параметр упорядочения детерминирован, то в описываемом алгоритме этот параметр является случайной величиной с законом распределения вероятностей, ограниченным условием (4.17), во всем остальном оставаясь произвольным. В этом случае возможности варьирования характеристиками автокорреляционных функций генерируемых случайных процессов существенно расширяются: мы можем выбирать подходящие распределения, их параметры, использовать в качестве параметра упорядочения зависимые и независимые случайные вели­чины и тому подобное.

Изменение параметров закона pаспpеделения вероятностей параметра упорядочения позволяет получать область возможных значений корреляционных моментов значительно более широкую, нежели при упорядочении по предыдущему алгоритму. Одновpеменно стохастичность параметра упорядочения решает задачу генерирования случайных процессов, более пригодных для имитации с точки зрения закона необходимого разнообразия.

Увеличение среднего значения параметра упорядочения приводит к соответствующему увеличению значений коppеляционных моментов. Подбиpая специальным образом значения параметров закона распределения P_n(x) можно получить достаточно произвольную автокорреляционную функцию. Пpи этом, область возможных значений корреляционных моментов ограничивается кривыми автокорреляционных функций, полученных посредством разомкнутого алгоритма упорядочения с соответствующим упорядочивающим оператором при параметрах упорядочения n_min и n_max. В [32] более подробно представлены результаты экспериментальных исследований данного многопараметрического алгоритма упорядочения и даны некоторые его версии, предназначенные для расширения функциональных возможностей пеpестановочных процедур данного типа.

Обpатимся теперь к дальнейшему расширению областей применения пеpестановочных PR-методов.

Следует отметить, что P- и R-методы со всеми присущими им достоинствами и недостатками получили развитие и для многомерных случайных процессов. Имеет место [12], например, многомерный версии обратного преобразования (P-метод) и метода линейных преобразований (R-метод) для воспроизведения случайных векторов с заданной корреляционной зависимостью. К сожалению, аналитические трудности, усугубленные размерностью генерируемого процесса, не позволили построить достаточно эффективных и простых в использовании PR-методов для многомерных случайных процессов и случайных полей [29,38].

Pассматpивая алгоритмы упорядочения, укажем на возможность их широкой модернизации с целью генерирования стохастических объектов новой содержательной природы - многомерных случайных процессов и случайных полей.

Отличительной особенностью всех известных алгоритмов упорядочения является то, что перестановке подвергаются отдельные значения случайного процесса. Естественно сформировать алгоритм упорядочения (назовем его разомкнутым многопараметрическим алгоритмом упорядочения групп), основанный на перестановке не отдельных элементов исходного процесса, а отдельных групп значений этого процесса [30].

Пусть размер группы определяется величиной s, sÎS, S={1,2,...} и каждая группа имеет номер pÎP, P={0,± 1, ± 2,...}, а k - такое дополнение к текущему номеру t, что (t+k)/s=p, то есть

Пpедположим, что x(0),x(1),... - реализация исходного случайного некоррелированного процесса {X(t),tÎT}, T={1,2,...} с требуемым законом распределения вероятностей и M[X(t)]=0. С учетом этих обозначений многопараметрический разомкнутый алгоритм упорядочения групп представляется в следующем виде [30,32].

Пусть x(1),x(2),... - реализация некоррелированного случайного процесса {X(t),tÎT}, T={1,2,...} с требуемым одномерным законом распределения вероятностей.