Числа с логарифмически нормальным распределением генериру­ются преобразованием

,

где m и s - параметры логарифмически нормального распределе­ния.

Пример 4.9. Получить три гауссовских случайных числа, используя центральную предельную теорему.

Решение 4.9. Для получения одного гауссовского числа по формуле (4.6) необходимо 12 исходных чисел h. Выберем их из таблицы случайных цифр (см. приложение 2) следующим образом: для d₁ будем суммировать 12 первых чисел, записанных в виде двухзначной десятичной дроби, из первой строки, для d₂ - из второй, для d₃ - из третьей строки. Тогда,

d₁=(0,10+0,09+0,73+0,25+0,93+0,76+0,52+0,01+0,35+0,8б+0,34+0,67)-6,00=-0,39;

d₂=(0,37+0,54+0,20+0,48+0,05+0,64+0,89+0,47+0,42+0,96+0,24+0,80)-6,00=-0,06;

d₃=(0,08+0,42+0,26+0,89+0,53+0,19+0,64+0,50+0,93+0,03+0,23+0,20)-6,00=-0,10.

Итак, получены три гауссовски распределенных случайных чис­ла: d₁ = - 0,39; d₂ = - 0,06; d₃= - 0,10.

Отметим, что в некоторых сборниках таблиц по математической статистике приводятся таблицы нормально распределенных случайных чисел (приложение 3) с параметрами M[d]=0 и s[d]=1. Используя формулу (4.6) можно получить гауссовские случайные числа с иными параметрами и тогда следует (для приведения их к стандартному виду) произвести нормировку.

Метод Неймана. Он относится к приближенным мето­дам [12] и суть его состоит в следующем:

- пусть закон распределения вероятностей, который требуется ввести в последовательность случайных чисел, представлен плотностью f_x(x), ограниченной на интервале [a,b] и для которой,

- для получения случайных чисел x с плотностью f_x(x) генерируется пара исходных чисел , которая затем преобразуется в новую пару чисел и ;

- если , то , в противном случае необходимо вновь получить пару исходных чисел , преобразовать их по тем же формулам в , проверить условие и т.д.

Пример 4.10. Пусть требуется получить три случайных числа с законом распределения вероятностей

причем М=0,75.

Решение 4.10. Будем получать пары исходных чисел из таблицы случайных цифр, выбирая в качестве h₁ две цифры, записанные в виде десятичной дроби, из первого столбца, а для h₂ бу­дем аналогично выбирать цифры из второго столбца.

Тогда =0,10 и =0,09. Преобразуем пару (, ) в новую пару чисел

Вычисляем , сравниваем и . Так как (0,23175 > 0,0675), то число принимаем в качестве первого генерируемого случайного числа . Делаем аналогичные действия для вто­рого числа и числа и . Имеем

Так как (0,9178 > 0,405), то . Третья пара = 0,08 и =0,42. Для этой пары

Так как (0,1055 < 0,315), то пара отбрасывается и для нее выбирается новая пара исходных чисел =0,99 и =0,01, для которой

Так как (0,0706 > 0,0075), то .

Итак, методом Неймана получено три случайных числа x₁=0,1, x₂=0,37, x₃=0,99.

Метод кусочной аппроксимации. Его сущность состоит в замене генерируемого распределения вероятнос­тей серией простых дискретных распределений, для которых можно указать достаточно удобные и простые моделирующие процедуры [12].

Пусть требуется прогенерировать случайные числа с плотностью распределения f_x(x). Предположим, что xÎ[a,b] неограниченное распределение можно приближенно заменить ограниченным. Интервал [a,b] разбивается на n достаточно малых интервалов (a_m, a_m-1), m=0,1,…,n-1, a₀=a, a_n=b, так, чтобы заданное распределение в пределах этих интервалов можно было достаточно точно аппроксимировать каким-нибудь простым распре­делением, например, равномерным, трапецеидальным и т.д. В даль­нейшем рассмотрим кусочную аппроксимацию равномерным распреде­лением.

Пусть P_m - вероятность попадания случайного числа x в каждый из интервалов (a_m, a_m+1). Случайные числа x с кусочно-равномерным распределением (рис. 4.7) можно получить в соответствии со следующей схемой преобразования случайных чисел:

- случайным образом с вероятностью выбирается, интервал (a_m, a_m+1);

- формируется число равномерно распределенное в интервале (a_m, a_m+1), которое и будет x:

x=(a_m+1 - a_m)×h + a_m,

при этом h - случайное число, генерируемое источником первичной слу­чайности.

х0 х1 х2 хm xm+1 xn                               0 p0 p1... pm... 1

Случайный выбор интервала (a_m, a_m+1) с вероятностью P_m означает по существу моделирование случайного числа, принимающего n значений a_m, m=0,1,…,n-1, с ве­роятностью P_m каждое, что делается следующим образом. Интервал [0,1] разбивается на n интервалов (x_m, x_m+1), m=0,1,…,n-1, x₀=0, x_n=1, длиной x_m+1 - x_m = P_m каж­дый (рис. 4.8).

Источником первичной случайности воспроизводится равномерно распределенное в [0, 1] число . Путем последовательного сравнения с x_m определяется интервал (x_m, x_m+1), то есть тот интервал, в котором оказывается , и, следовательно, соответствующий интервал (а_m, а_m+1).

В основу этого процесса положен очевидный факт - вероятность попадания равномерно распределенной в интервале [0,1] случайной величины в некоторый подынтервал (x_m, x_m+1) рав­на длине этого подынтервала.

Метод кусочной аппроксимации обладает, в отличие от мето­да Неймана, возможностями увеличения точности воспроизведения ве­роятностных свойств. Для этого необходимо увеличить число малых интервалов (a_m, a_m+1), то есть n®¥, что приведет к снижению быстродействия метода.

Пример 4.11. Пусть требуется прогенерировать методом кусочной аппроксимации три случайных числа, если их закон распределения вероятностей задан таблицей 4.1 (разбиение на малые интервалы (a_m, a_m+1) произведено).

Таблица 4.1

(am, am+1)	(0,1)	(1,2)	(2,3)	(3,4)
	0,2	0,3	0,4	0,1

Решение 4.11. Сформируем единичный отрезок для организации выбора случайного интервала (a_m, a_m+1), m=0,1,2,3,4 (см. табл. 4.2)

Таблица 4.2

(am, am+1)	(0;1)	(1;2)	(2;3)	(3;4)
	0,2	0,3	0,4	0,1
(xm, xm+1)	(0,0; 0,2)	(0,2; 0,5)	(0,5; 0,9)	(0,9; 1,0)

Прогенерируем первое случайное число x₁. Для этого разыграем (из таблицы случайных цифр, приведенной в приложении 2, будем выбирать пары цифр из 17-го и 18-го столбцов таблицы и формировать из них десятичную двухзначную дробь) число =0,35. Сравнивая его с границами подын­тер­валов (x_m, x_m+1), выясняем, что попадает во второй подынтервал (x₁, x₂). Таким образом, реализация случайного числа x₁ будет формироваться для малого интервала разбиения (1; 2), m=1.

Вновь обращаемся к таблице случайных цифр и получаем h₁=0,42, которое преобразуется в первое генерируемое случайное число с тре­буе­мым законом распределения вероятностей

x₁=(2-1)·0,42+1=1,42.

Генерируем второе число ξ₂. Для этого определяем =0,93 и выясняем, что оно попадает в четвертый подынтервал (x₃, x₄), то есть малый интервал разбиения (a_m, a_m+1) случайно выбран и это интервал (3;4). Получаем еще одно число η₂=0,07 и рассчитываем новое генерируемое число

ξ₂=(4-3)·0,07+3=3,07.

Поступая аналогично, получим ( =0,61, подынтервал выбран (2;3), η₃=0,68)

ξ₃=(3-2) ·0,68+2=2,68.

Таким образом, используя метод кусочной аппроксимации, мы получили три случайных числа с требуемым законом распределения вероятностей ξ₁=1,42; ξ₂=3,07; ξ₃=2,68.