Если x удовлетворяет уравнению

, (4.3)

где h - величина, распределенная равномерно на [0,1], то x рас­пределено по закону F (x).

Выражение (4.3) можно, очевидно, переписать и через плотность распределения вероятностей

, (4.4)

Ясно, что преобразование Н.В. Смирнова можно применить и для дискретных распределений, соответственно представив уравнение (4.3).

Пример 4.5. Пусть требуется найти преобразование для ге­нерирования случайных чисел, распределенных по равномерному в ин­тервале [a,b] закону распределения вероятностей.

Решение 4.5. Плотность равномерного в интервале распределения имеет вид:

xÎ[a,b].

В соответствии с формулой (4.4) имеем

Отсюда

(4.5)

Пример 4.6. Найти преобразование для генерирования случайных чисел экспоненциальным распределением

.

Решение 4.6. В соответствие с формулой (4.4) имеем

Отсюда, после логарифмирования левой и правой части равенства , получаем или, с учетом того, что h и (1-h) распределены равномерно в интервале [0,1], можно записать

.

Пример 4.7. Построить процедуру получения биномиально распределенных случайных чисел.

Решение 4.7. Известно [44], что биномиально распределенная случайная величина x есть число успехов в n независимых испытаниях Бернулли с вероятностью успеха в каждом из испытаний p и вероятностью неудачи q=1-p.

Тогда алгоритм генерирования биномиально распределенных чисел x c параметрами n и р имеет следующий вид:

- устанавливается начальное значение биномиальной величины x=0;

- генерируется источником первичной случайности равномерно распределенное на интервале [0,1] случайное число h (разыг­рывается испытание Бернулли);

- проверяется условие h<p (произошло ли событие в испы­тании Бернулли?), если событие не произошло (h<р), то осу­ществляется переход к шагу 5;

- если событие в испытании Бернулли произошло (h³р), то биномиальная величина увеличивается на единицу;

- шаги 2,3,4 повторяются n раз.

Пример 4.8. Получить три случайных числа с распределением Бернулли, если вероятность успеха в каждом испытании p = 0,4.

Решение 4.8. В соответствии с физическим механизмом, описывающим испытания Бернулли, имеем следующий алгоритм генери­рования:

- устанавливается начальное значение бернуллиевского случайного числа x = 0;

- генерируется источником первичной случайности равномерно распределенное на интервале [0,1] случайное число h;

- проверяется условие h<0,4 (произошло ли событие в схеме Бернулли?), если событие произошло (h≥0,4), то x=1. В про­тивном случав (h<0,4) число не изменяется, то есть x= 0.

На выходе процедуры получено случайное число x, имеющее распределение Бернулли с вероятностью успеха р.

Для получения трех случайных чисел необходимо (в соответст­вии с алгоритмом) три исходных числа h. Получим их из таблицы случайных цифр (см. приложение 2). Ограничимся при этом двумя знаками после запятой (заметим, что это ограничение зависит от точности задания параметров генерируемого распределения). Возьмем три первых пары цифр из первой строки таблицы и запишем их в виде десятичной дроби:

h₁=0,10; h₂=0,09; h₃=0,73.

Используя описанный выше алгоритм (р=0,4):

1) x₁= 0;

2) h₁£ 0,4 (0,1 < 0,4). Следовательно, x₁=0;

3) x₂=0;

4) h₂£ 0,4 (0,09 < 0,4). Следовательно, x₂=0;

5) x₃=0;

6) h₃>0,4 (0,73 > 0,04). Следовательно, x₃=1.

Итак, получены три случайных числа 0,0,1, имеющих распреде­ление Бернулли с вероятностью успеха (появления события) р=0,4.

В соответствии с центральной предельной теоремой теории вероятностей можно получить нормально распределенные случайные числа

причем точность аппроксимации растет с ростом k. Для многих прак­тических целей достаточно взять k=12, так что

Гауссовские случайные числа могут быть получены и как функ­ции от двух и большего количества чисел с другими, негауссовскими распределениями вероятностей, например, произведение двух чи­сел x₁ и x₂, имеющих одно распределение арксинуса, а другое - распределение Рэлея, имеет гауссовское распределение. Для генерирования чисел с распределениями арксинуса и Рэлея может ис­пользоваться метод обратных функций

,

Тогда

(4.6)

т.е. необходимо два исходных числа h₁ и h₂, подвергнуть этому преобразованию.

Гауссовски распределенные числа являются основой для генерирования чисел с рядом распределений (в силу существующей взаимо­связи между гауссовским и некоторыми другими распределениями). Так, например, числа с распределением Рэлея могут быть получены из пары гауссовских чисел