Функции от случайных величин и векторов

2.3.1. Дискретная случайная величина имеет закон распределения

	-2	-1
	0,1	0,3	0,2	0,4

Найти закон распределения случайной величины .

2.3.2. Дискретная случайная величина имеет закон распределения

	0,1	0,2	0,1	0,2	0,4

Найти закон распределения случайной величины .

2.3.3. Случайная величина имеет закон распределения , . Найти закон распределения и математическое ожидание случайной величины .

2.3.4. Случайная величина имеет закон распределения , Найти закон распределения и математическое ожидание случайной величины .

2.3.5. Случайная величина имеет закон распределения , Найти закон распределения случайной величины .

2.3.6. Случайная величина распределена равномерно на интервале . Найти плотность вероятностей случайной величины .

2.3.7. Случайная величина равномерно распределена на интервале . Найти плотности вероятностей случайных величин: а) ; б) ; в) и построить их графики.

2.3.8. Случайная величина равномерно распределена на интервале . Найти плотность вероятностей случайной величины .

2.3.9. Пусть – случайная величина, равномерно распределенная на отрезке . Найти плотность вероятностей случайной величины .

2.3.10. Случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами . Найти плотности вероятностей случайных величин:
а) ;

б) ; в) ; г) ; д) .

2.3.11. Случайная величина распределена по закону . Найти:
а) плотность вероятностей случайной величины при ; б) плотность вероятностей случайной величины при произвольных и .

2.3.12. Случайная величина распределена по закону . Найти: а) закон распределения случайной величины

б) плотность вероятностей случайной величины и .

2.3.13. Случайная величина X распределена по закону Коши с плотностью

.

Найти плотности вероятностей случайных величин: а) ;

б) .

2.3.14. Случайная величина имеет распределение Коши. Доказать, что случайные величины , , также имеют распределение Коши.

2.3.15. Задана плотность вероятностей случайной величины . Найти плотность вероятностей случайной величины , если: а) ; б) ; в) ; г) .

2.3.16. Задана функция распределения случайной величины . Найти функцию распределения случайной величины .

2.3.17. Задана функция распределения случайной величины . Найти функцию распределения случайной величины .

2.3.18. Диаметр круга – случайная величина , которая равномерно распределена на отрезке . Найти функцию распределения площади круга.

2.3.19. Пусть – случайная величина с непрерывной функцией распределения , и . Найти функцию распределения случайной величины .

2.3.20. Независимые дискретные случайные величины и имеют законы распределения:

	0,4	0,1	0,5			0,2	0,8

Найти закон распределения случайной величины .

2.3.21. Совместное распределение случайных величин и Y задано таблицей

	-1
-1
-1

Найти: а) совместный закон распределения случайных величин и ; б) закон распределения случайной величины ; в) закон распределения случайной величины .

2.3.22. Пусть величина принимает значения с вероятностями соответственно, а величина принимает значения с вероятностями . Величины и независимы. Найти распределение вероятностей случайной величины .

2.3.23. Дискретная случайная величина принимает значения -1,1 с вероятностями и , а случайная величина является непрерывной и не зависит от случайной величины . Найти закон распределения случайной величины , если случайная величина распределена

а) по равномерному закону

б) по равномерному закону

в) по показательному закону

г) по нормальному закону

д) по закону с плотностью вероятностей

2.3.24. Случайная величина распределена равномерно на отрезке , а случайная величина имеет показательное распределение с плотностью вероятностей

Величины и независимы. Найти плотность вероятностей случайной величины .

2.3.25. Пусть и – независимые случайные величины, равномерно распределенные на отрезке . Найти плотность вероятностей случайной величины .

2.3.26. Случайные величины и независимы и имеют равномерные законы распределения и соответственно. Найти плотность вероятностей случайной величины .

2.3.27. Случайные величины , и независимы и имеют равномерное распределение на отрезке . Найти плотность вероятностей случайной величины .

2.3.28. Случайные величины и независимы и равномерно распределены на отрезке . Найти плотность вероятностей случайных величин:

а) ; б) ; в) .

2.3.29. Пусть и – независимые случайные величины, которые имеют показательное распределение с параметром . Найти: а) плотность вероятностей случайной величины ; б) плотность вероятностей случайной величины .

2.3.30. Пусть и – независимые, одинаково распределенные случайные величины с плотностью . Найти плотность вероятностей случайной величины .

2.3.31. Найти плотность вероятностей случайной величины , если задана плотность вероятностей случайного вектора .

2.3.32. Определить плотность вероятностей случайной величины , если: а) задана плотность вероятностей случайного вектора ;
б) и – независимые нормальные случайные величины с математическими ожиданиями, равными , и дисперсиями и соответственно.

2.3.33. Пусть и – независимые случайные величины, которые имеют показательное распределение с параметром . Найти функцию распределения случайной величины .

2.3.34. Случайные величины и независимы и имеют плотности вероятностей

Доказать, что случайная величина имеет нормальное распределение.

2.3.35. Случайные величины и имеют нормальное распределение и независимы. Доказать, что отношение имеет распределение Коши.

2.3.36. Пусть – нормальный случайный вектор с плотностью вероятностей

Найти плотность вероятностей случайной величины .

2.3.37. Какому функциональному преобразованию надо подвергнуть случайную величину , распределенную равномерно в интервале , чтобы получить случайную величину , распределенную по показательному закону с плотностью вероятностей

?

2.3.38. Случайная величина распределена по показательному закону с плотностью вероятностей .

Каким функциональным преобразованием можно превратить ее в случайную величину, распределенную по закону Коши:

?

2.3.39. Имеются две случайных величины: с плотностью вероятностей и с плотностью вероятностей . Известно, что случайная величина представляет собой монотонную функцию от случайной величины : . Найти вид функции . (Рассмотреть отдельно случаи монотонно возрастающей и монотонно убывающей функции ).

2.3.40. Пусть и – независимые случайные величины, которые имеют нормальные распределения . Доказать, что случайные величины и независимы.

2.3.41. Пусть и – независимые случайные величины, имеющие показательные распределения с параметрами и соответственно. Доказать, что случайные величины и независимы.

2.3.42. Пусть и – независимые случайные величины, распределенные по нормальному закону . Показать, что случайные величины и независимы.

2.3.43. Пусть – независимые случайные величины, имеющие гауссовские распределения . Пусть и . Доказать, что и независимы тогда и только тогда, когда .

2.3.44. По плотности вероятностей случайного вектора найти плотность вероятностей случайного вектора , если

,

,

2.3.45. Пусть –случайный вектор, имеющий нормальное распределение . Найти плотность вероятностей случайного вектора , если и , где - действительное число. При каком случайные величины и будут независимы?

2.3.46. Определить плотность вероятностей длины радиус-вектора, если сам вектор имеет нормальное распределение с плотностью

.

2.3.47. Координаты случайной точки на плоскости подчинены нормальному закону распределения с плотностью вероятностей

.

Определить совместную плотность вероятностей полярных координат этой точки.

2.3.48. Точка P равномерно распределена в круге радиусом R. Пусть – расстояние от точки до центра круга. Найти функцию распределения и плотность вероятностей случайной величины . Найти и . Вычислить и .

2.3.49. На отрезок наугад брошены две точки. Пусть – расстояние между ними. Найти функцию распределения случайной величины и вычислить , , .

2.3.50. Случайная точка в пространстве подчинена нормальному закону распределения с плотностью

= .

Определить совместную плотность вероятностей сферических координат этой точки .

2.3.51. Дискретные случайные величины независимы и распределены по законам Пуассона с параметрами соответственно. Показать, что их сумма также распределена по закону Пуассона с параметром .

2.3.52. Пусть – независимые случайные величины, имеющие показательное распределение с параметром > 0. Доказать, что случайная величина имеет плотность вероятностей

Замечание. Закон распределения случайной величины называется распределением Эрланга.

2.3.53. Пусть случайные величины независимы и имеют нормальное распределение . Доказать, что плотность вероятностей случайной величины равна

Замечание. Закон распределения случайной величины называется распределением хи-квадрат с n степенями свободы.

2.3.54. Пусть – независимые случайные величины, имеющие нормальное распределение . Доказать, что плотность вероятностей случайной величины равна

.

Замечание. Закон распределения случайной величины называется распределением Стьюдента с n степенями свободы.

2.3.55. Найти плотность вероятностей случайной величины ,
где и – независимые случайные величины, имеющие распределение хи-квадрат с и степенями свободы соответственно.

Замечание. Закон распределения случайной величины называется распределением Фишера с степенями свободы.

2.3.56. Пусть – гауссовский вектор с и корреляционной матрицей . Пусть – некоторая числовая матрица размерности n m. Показать, что вектор также гауссовский.

2.3.57. Пусть – сумма независимых случайных величин , каждая из которых имеет показательное распределение с параметром , . Доказать, что с вероятностью 1 тогда и только тогда, когда

.