Определенный интеграл как функция верхнего предела

Прежде, чем приступить к изучению данного раздела, обратите внимание на следующее:

1. Неопределенный интеграл это функция от х, а определенный интеграл - это число.

2. Значение определенного интеграла не зависит от того, какой буквой обозначена переменная интегрирования, то есть . Поэтому если в процессе выкладок переменная интегрирования вдруг будет обозначена другой буквой - не пугайтесь, это совершенно все равно.

Объектом исследования данного раздела является определенный интеграл с переменным верхним пределом

,

который представляет собой функцию от х.

Теорема 1. Пусть интегрируема на интервале . Тогда есть непрерывная функция на этом интервале.

Доказательство.

Так как интегрируема на интервале , то она ограничена на этом интервале, то есть существуют конечные т и М, такие, что . Тогда

Но, по первой теореме о среднем, , где . Тогда

и

,

что и говорит о непрерывности функции . <

Теорема 2. Пусть непрерывна на интервале . Тогда .

Доказательство.

В ходе доказательства теоремы 1 было получено соотношение

Но теперь непрерывна. Поэтому, по следствию из первой теоремы о среднем, мы можем записать:

,

где и при . Тогда имеем

,

,

и, наконец,

. <

Таким образом, у каждой непрерывной функции существует первообразная! Это устраняет одно сомнение относительно неберущихся интегралов. А вдруг они не берутся потому, что первообразной вообще не существует? Оказывается - нет, первообразная существует, просто она не относится к классу элементарных функций.