Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования

Пусть функции и заданы всюду на плоскости и непрерывны в любой конечной части этой плоскости; – произвольные точки, соединенные произвольной дугой (рис. 158). Рассмотрим криволинейный интеграл

(23)

Если точки соединить кривой а затем кривой то интегралы вида (23), взятые по этим кривым, вообще говоря, не будут равны друг другу. Это ясно из формул для вычисления таких интегралов (см. §1 ). Возникает вопрос: когда криволинейный интеграл (23) не будет зависеть от формы кривой, соединяющей любые точки и т. е. когда для всех кривых, соединяющих эти точки, интеграл (23) будет иметь одно и то же значение и, следовательно, будет зависеть только от положения начала и конца кривой

Чтобы ответить на этот вопрос, возьмем на плоскости произвольный замкнутый контур с направлением обхода против часовой стрелки и криволинейный интеграл по этой кривой

(24)

Теорема 1. Если криволинейный интеграл (23) для любых точек не зависит от линии интегрирования, то криволинейный интеграл (24) по любой замкнутой кривой равен нулю и, наоборот, если криволинейный интеграл (24) по любой замкнутой кривой равен нулю, то криволинейный интеграл (23) для любых точек не зависит от линии интегрирования.

Доказательство. Пусть интеграл (23) не зависит от линии интегрирования. Возьмём произвольный замкнутый контур на плоскости расположим на нём точки (рис. 159). Тогда

(25)

В правой части формулы (25) изменим направление обхода кривой на противоположное, знак перед интегралом изменится на противоположный, тогда получим

(26)

Но левая часть (26) равна интегралу по замкнутому контуру следовательно,

(27)

Таким образом, первая часть теоремы доказана. Теперь докажем вторую часть.

Известно, что интеграл (24) обращается в нуль, и нужно доказать, что интеграл (23) не зависит от линии интегрирования. Возьмём любые две точки на плоскости и проведём через них любой замкнутый контур Интеграл по этому контуру обращается в нуль, т. е. имеет место соотношение (27), поэтому имеет место соотношение (26), следовательно, и (25). Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть функции и их частные производные непрерывны в любой конечной части плоскости Тогда, если во всех точках плоскости выполняется соотношение

(28)

то криволинейный интеграл

(29)

для любых двух точек плоскости не зависит от линии интегрирования.

Доказательство. Возьмём на плоскости произвольный замкнутый контур , область внутри обозначим через и для нее запишем формулу Грина

(30)

В силу равенства (28) подинтегральное выражение в левой части формулы (30) равно нулю, следовательно, и вся левая часть равна нулю, поэтому равен нулю и криволинейный интеграл в правой части формулы (30). Итак,

Таким образом, последний криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю. Тогда, согласно теореме 1, интеграл (29) от линии интегрирования не зависит. Доказательство завершено.

Справедлива и обратная

Теорема 3. Если функции и их частные производные непрерывны в любой конечной части плоскости и для любых двух точек и криволинейный интеграл (29) не зависит от линии интегрирования, то соотношение (28) имеет место во всех точках плоскости

Доказательство. Нужно доказать, что во всех точках плоскости выполняется соотношение Предположим, что оно не выполняется в некоторой точке и выполняется, например, неравенство

(31)

Так как в силу условий теоремы разность есть функция, непрерывная в точке то для значения этой функции в точке имеем Отсюда с учётом неравенства (31) в силу определения предела функции двух переменных следует, что найдётся круг достаточно малого радиуса с центром в точке для любой точки которого справедливо соотношение Следовательно,

(32)

Рассмотрим формулу Грина (15) для функций , круга с границей Согласно (32) её левая часть положительна, поэтому Но в силу условия теоремы этот интеграл должен быть равен нулю (см. теорему 1). Приходим к противоречию. К такому же заключению придём, предположив, что Таким образом, предположение о том, что в точке не выполняется условие должно быть отброшено. Теорема доказана.

Теорема 2 может быть использована, в частности, при вычислении криволинейного интеграла вида (29). Пусть, например, требуется вычислить криволинейный интеграл по некоторой (произвольной) заданной кривой, соединяющей точки и Здесь поэтому соотношение (28) выполняется, и при вычислении рассматриваемого интеграла в качестве кривой для упрощения выкладок можно взять отрезок прямой, соединяющий точки и с уравнением Положив придем к параметрическим уравнениям этого отрезка: Использовав формулу (10), получим