К вычислению работы

Как известно, если путь имеет форму вектора и сила постоянна (по модулю и направлению), то работа силы на пути определяется формулой

(14)

где – угол между и

Пусть на плоскости задана кривая (рис. 156), и в точке этой кривой приложена сила с проекциями на оси координат Будем считать, что эта сила, следовательно, и ее проекции, являются переменными и зависят от – координат точки Это значит, что – функции двух переменных . Обозначим их через Итак, Полагаем, что функции заданы и непрерывны всюду на кривой .

Требуется найти работу которую совершает переменная сила когда точка ее приложения перемещается от начала до конца кривой

Разобьём на частей точками Обозначим соответственно точки и через и координаты точек и – через и разности координат – Проекции вектора на оси координат равны разностям координат конца и начала:

На дуге возьмём произвольную точку Вычислим в этой точке значение заданной силы и найдём В силу малости участка кривой приближённо можно считать, что, во-первых, этот участок является прямолинейным и совпадает с и, во-вторых, на этом участке сила изменяется мало, остаётся постоянной и равна – силе, вычисленной в точке Таким образом, работа силы на участке кривой будет приближённо равна согласно (14) скалярному произведению Это скалярное произведение запишем в виде суммы произведений одноимённых проекций и получим

Аналогично найдем работу силы на всех участках кривой Сложим все получим приближенно работу на кривой

Это равенство тем точнее, чем меньше все длины дуг Точное значение найдём, когда в последнем соотношении в правой части перейдём к пределу при условии, что и Тогда получим (учтём, что предел правой части равен сумме пределов первой и второй сумм):

Но предел первой суммы равен криволинейному интегралу по координате а предел второй – криволинейному интегралу по координате Итак,