![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Как известно, если путь имеет форму вектора и сила
постоянна (по модулю и направлению), то работа силы
на пути
определяется формулой
(14)
где – угол между
и
Пусть на плоскости задана кривая
(рис. 156), и в точке
этой кривой приложена сила
с проекциями на оси координат
Будем считать, что эта сила, следовательно, и ее проекции, являются переменными и зависят от
– координат точки
Это значит, что
– функции двух переменных
. Обозначим их через
Итак,
Полагаем, что функции
заданы и непрерывны всюду на кривой
.
Требуется найти работу которую совершает переменная сила
когда точка
ее приложения перемещается от начала
до конца
кривой
Разобьём на
частей точками
Обозначим соответственно точки
и
через
и
координаты точек
и
– через
и
разности координат –
Проекции вектора
на оси координат равны разностям координат конца и начала:
На дуге возьмём произвольную точку
Вычислим в этой точке значение заданной силы и найдём
В силу малости участка
кривой
приближённо можно считать, что, во-первых, этот участок является прямолинейным и совпадает с
и, во-вторых, на этом участке сила
изменяется мало, остаётся постоянной и равна
– силе, вычисленной в точке
Таким образом, работа
силы
на участке
кривой
будет приближённо равна согласно (14) скалярному произведению
Это скалярное произведение запишем в виде суммы произведений одноимённых проекций и получим
Аналогично найдем работу силы на всех участках кривой
Сложим все
получим приближенно работу на кривой
Это равенство тем точнее, чем меньше все длины дуг
Точное значение
найдём, когда в последнем соотношении в правой части перейдём к пределу при условии, что
и
Тогда получим (учтём, что предел правой части равен сумме пределов первой и второй сумм):
Но предел первой суммы равен криволинейному интегралу по координате а предел второй – криволинейному интегралу по координате
Итак,
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 201 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!