Вычисление объёмов с помощью двойных интегралов

Пусть в области на плоскости задана функция которая всюду в принимает положительные значения. Тогда поверхность, которую определяет это уравнение, расположена выше плоскости (как показано на рис. 145). Мы знаем, что в этом случае согласно (6) интеграл – объёму цилиндрического тела, ограниченного снизу областью а сверху – поверхностью

Рис. 145 Рис. 146

Пусть теперь всюду в области функция принимает отрицательные значения, тогда цилиндрическое тело вместе с поверхностью лежат ниже плоскости (рис. 146). Поступая, как и раньше (см. параграф 3 настоящей главы), нетрудно показать, что в этом случае где – объём указанного цилиндрического тела.

Эти формулы используются для нахождения объёмов с помощью двойных интегралов. Пусть, напри-мер, надо найти объём тела, показанного на рис. 147, для которого является проекцией на плоскость при проектировании парал-лельно оси Данное тело ограничено сверху поверхностью и снизу – поверхностью Согласно формуле (6) интеграл

Рис. 147 (24)

равен объёму цилиндрического тела, ограниченного снизу областью а сверху – поверхностью Далее, интеграл

(25)

равен объёму цилиндрического тела, ограниченного снизу областью а сверху – поверхностью Ясно, что искомый объём будет равен Подставим сюда вместо и выражения (24) и (25) и учтём, что разность двойных интегралов равна интегралу от разности: