Вычисление двойного интеграла

Пусть в области на плоскости задана функция которая принимает положи-тельные значения всюду в области (рис. 132). Тогда двойной интеграл от этой функции по области как мы знаем, равен объёму ци-линдрического тела, ограни-ченного снизу областью а сверху – поверхностью с уравнением :

(8)

Пусть область лежит между прямыми и параллельными оси и имеющими общие точки с границей области (это означает, что цилиндрическое тело лежит между плоскостями, перпендикулярными к оси и проходящими через точки оси ). Кривые – части границы области заданные соответственно уравнениями Здесь – абсциссы точек границы области Будем считать, что функции однозначны. Это означает, что любая прямая, параллельная и проходящая через точку интервала , пересекает линию а также линию только в одной точке, причём – ордината – точки входа этой прямой в область – ордината – точки выхода этой прямой из области Ясно, что по этой прямой плоскость пересекает плоскость, перпендикулярную к и проходящую через точку Эта плоскость пересекает рассматриваемое цилиндрическое тело по фигуре , представляющей собой криволинейную трапецию с основанием Сверху трапеция ограничена кривой Все точки указанной плоскости, следовательно, и кривой имеют одну и ту же абсциссу . Но так как кривая лежит на поверхности то координаты точек этой кривой удовлетворяют уравнению поверхности. У всех точек кривой абсцисса не изменяется, а изменяется лишь ордината от значения – ординаты точки до значения – ординаты точки

Итак, кривая ограничивающая сверху криволинейную трапецию имеет уравнение Теперь площадь этой трапеции можем вычислить с помощью определённого интеграла, а именно,

Ясно, что для различных фиксированных из интервала эта площадь будет различной, так как будут различаться соответствующие криволинейные трапеции, т. е. эта площадь есть функция от Обозначим её Таким образом,

(9)

где

Итак, для каждого из известна площадь сечения цилиндрического тела плоскостью, проходящей через точку перпендикулярно к оси Мы знаем, что объём рассматриваемого цилиндрического тела выражается с помощью определённого интеграла, взятого от до для функции т. е. Вместо подставим сюда выражение (9) и получим

Но с другой стороны найденный объём согласно (8) равен двойному интегралу, поэтому

Выражение в правой части называется двукратным интегралом. Последнюю формулу можно записать в более простой форме

(10)

Таким образом, (10) – формула вычисления двойного интеграла. Здесь в правой части внутренний интеграл берется по при постоянном .

Формула (10) справедлива и тогда, когда граница области имеет участки, лежащие на прямых (или на других прямых, параллельных оси ), т. е. когда область имеет вид, указанный на рис. 133. Если в последнем случае и то область имеет форму прямоугольника, стороны которого параллельны координатным осям. В этом случае пределы внутреннего интеграла правой части (10) – пределы для – также будут постоянными.

Рис. 133 Рис. 134

Формула (10) справедлива и тогда, когда граница области имеет участки, лежащие на прямых (или на других прямых, параллельных оси ), т. е. когда область имеет вид, указанный на рис. 133. Если в последнем случае и то область имеет форму прямоугольника, стороны которого параллельны координатным осям. В этом случае пределы внутреннего интеграла правой части (10) – пределы для – также будут постоянными.

Пусть теперь область расположена между прямыми и участки её границы заданы соответственно уравнениями в которых (рис. 134). В этом случае, как и при выводе формулы (10), покажем, что имеет место формула, аналогичная (10):

(11)

Левые части формул (10) и (11) равны, следовательно, равны их правые части. Приравняв их, получим

Отметим, что последнее соотношение есть формула перестановки интегралов в двукратном интеграле.

Пример. Вычислить где – конечная область, лежащая между параболой и прямой (рис. 135). Эти кривые пересека-ются в точках и В самом деле, координаты этих точек удовлетворяют обоим уравнениям. Область – заштрихованная область. Она расположена между прямыми и следовательно, в нашем случае С одной стороны область ограничена кривой с другой – прямой Правые части этих уравнений суть пределы внутреннего интеграла формулы (10), т. е. При фиксированном эти величины означают соответственно ординаты точки входа и точки выхода из области прямой, проходящей через точку параллельно оси Итак, в рассматриваемом примере формула (10) даёт

Сначала вычислим внутренний интеграл по при Он является обычным определённым интегралом, поэтому вычислим его по формуле Ньютона–Лейбница:

Предлагаем самостоятельно вычислить данный двойной интеграл, используя формулу (11).